代数学 III 要約 NO.14

復習と補遺。

命題 14.1. 体 K の有限次拡大体 L および、 L と K の中間体 M が与えられたとき、つぎの等式が成り立つ。

[L : K] = [L : M][M : K]

補題 14.1 (既約性の判定法).

(1) 整数係数の多項式 f ∈ ℤ[X] にたいして、 f が ℚ[X] 上可約ならば、 f は ℤ[X] 上可約である。 (ガウス)

(2) f ∈ ℤ[X] に有理数解 p/q (p, q は互いに素な整数) が存在するなら、 p は f の定数項の約数であり、 q は f の最高次の係数の約数である。

(3) f ∈ ℤ[X] がモニックで、かつある素数 p にたいして

f(X) ≡ X^{d} (mod p)

がなりたつとする。このとき、もし f の定数項が p^{2} で割り切れなければ f は既約である。 (アイゼンシュタイン)

問題 12.1 有理数 a, b で、 ℚ (a\sqrt{3} + b\sqrt{6}) = ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}) とならないような a, b はどのようなものか。全て求めなさい。

問題 13.1 L = ℚ (\sqrt[4]{2}, \sqrt{−1}) , K = ℚ とおく。このとき L と K のあいだの中間体 M で、 K 上の拡大次数が 4 であるものを二つあげなさい。問題 13.2 前問で、 Gal(L/K) は可換群だろうか、理由をつけて述べなさい。問題 13.3 前問で、 Gal(L/K) の群の構造を理由をつけて述べなさい。