代数学III 要約 No.14

復習と補遺。

命題 14.1   体 $K$ の有限次拡大体 $L$ および、$L$ と $K$ の中間体 $M$ が 与えられたとき、つぎの等式が成り立つ。

$$[L:K]=[L:M][M:K]$$

補題 14.1 (既約性の判定法)  

1. 整数係数の多項式 $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ にたいして、 $f$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ 上 可約ならば、$f$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ 上可約である。(ガウス)
2. $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ に有理数解 $p/q$ ($p,q$ は互いに素な整数)が 存在するなら、$p$ は $f$ の定数項の約数であり、 $q$ は $f$ の 最高次の係数の約数である。
3. $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ がモニックで、かつある素数 $p$ にたいして
   $$f(X) \equiv X^d \pmod p$$
   がなりたつとする。このとき、もし $f$ の定数項が $p^2$ で割り切れなければ $f$ は既約である。(アイゼンシュタイン)

問題 12.1 有理数 $a,b$ で、

$$$$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $$(a \sqrt{3}+b \sqrt{6})=$$ $$$$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$$

とならないような $a,b$ はどのようなものか。全て求めなさい。

問題 13.1 $L=$    $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $(\sqrt[4]{2},\sqrt{-1})$ , $K=$    $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ とおく。この とき $L$ と $K$ のあいだの中間体 $M$ で、 $K$ 上の拡大次数が $4$ であるもの を二つあげなさい。

問題 13.2 前問で、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ は可換群だろうか、理由 をつけて述べなさい。

問題 13.3 前問で、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ の群の構造を理由をつけ て述べなさい。