代数学III 試験解答

問題 15.1   $\alpha=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ , $\beta=3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$ , $\gamma=5\sqrt{2}-6\sqrt{10}$ とし、 有理数 $a,b$ にたいし、 $\delta=a \alpha +\beta+ b\gamma$ , $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\delta)$ とおく。

1. $a=1,b=1$ のとき、 $[L:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]$ を求めよ。
2. $[L:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=2$ なる $(a,b)$ を2組求め、そのときの $L$ を それぞれ求めよ。

解答:

(1) $L_1=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3 },\sqrt{10})$ とおく。 $L_1=L$ であって、なおかつ $[L:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=8$ であることを示そう。 そうすれば

$$[L:$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$]=8$$

であることがわかる。

Part 0)まずつぎの補題を証明しておく。

補題 15.1   体 $K$ の元 $a,b$ に対して、

$$K(\sqrt{b})\ni \sqrt{a}$$

ならば $a,b,ab$ のうちどれか一つは $K$ の元の二乗である。

Proof. 背理法で、$a,b,ab$ のいずれも $K$ の元の二乗でないと仮定する。 $K(\sqrt{b})\ni \sqrt{a}$ だから、ある $c_0,c_1\in K$ が存在して、

$$\sqrt{a}=c_0 +c_1 \sqrt{b}$$

と書ける。両辺を二乗すると

$$a=c_0^2 +c_1^2 b +2 c_0 c_1 \sqrt{b}.$$

仮定により、 $K \ni \sqrt{b}$ ゆえ、 $[K(\sqrt{b}):K]=2$ すなわち $1$ と $\sqrt{b}$ は $K$ 上一次独立である。よって、

$$a=c_0^2+c_1^2 b, \quad 2 c_0 c_1 =0$$

とくに 後者の式から $c_0=0$ または $c_1=0$ がわかる。 場合分けをしよう。

(i) $c_0=0$ の場合。

$$\sqrt{a}=c_1 \sqrt{b}$$

すなわち

$$\sqrt{ab}=c_1 b \in K$$

がなりたつ。これは $ab$ が $K$ の元の二乗でないという仮定に反する。

(ii) $c_1=0$ の場合。

$$\sqrt{a}=c_0 \in K$$

がなりたつ。これは $a$ が $K$ の元の二乗でないという仮定に反する。

どの場合も矛盾が生じたから、補題が正しいことが証明されたことになる。 $\qedsymbol$

Part I) $[L_1:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]$ を求めよう。それには

$$L_1=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}) \subset$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2}) \subset$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$

なる部分体の列を考えて、各ステップでの拡大次数を各々求めれば良い。 それぞれのステップでは、平方根を一つだけ付け加えているのであるから、 拡大次数は2か、または 1（全く拡大していない)かのいずれかである。

講義で述べたように、$\sqrt{2}$ は有理数でない。したがって、

$$[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2}):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$]=2.$$

つぎに、 $\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{2\cdot 3}(=\sqrt{6})$ のいずれも $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の元でないことから、補題を用いて、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})\not\ni \sqrt{3}$ がわかる。ゆえに、

$$[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3}):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2})]=2.$$

さらに、 $\sqrt{10}\notin$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ である。これを 示そう。背理法で、 $\sqrt{10} \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ と仮定すると、補題を $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})$ の場合にもちいて、 $\sqrt{10},\sqrt{3},\sqrt{10\cdot 3}(=\sqrt{30})$ の いずれかが $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})$ に属さねばならなくなる。再び補題を (今度は $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ として)もちいると、

$$\sqrt{2},\sqrt{10},\sqrt{3},\sqrt{30}, \sqrt{20},\sqrt{6},\sqrt{60}$$

のいずれかが $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に属さねばならないことになるが、これは講義で のべたように矛盾。

よって、

$$[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3})]=2.$$

結局

$$[ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}): \mbox{${\mathbb{Q}}$} ]$$

$$= [ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}): \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3})] [ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3}), \mbox{${\mathbb{Q}}$} ]$$

$$= 2 [ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3}), \mbox{${\mathbb{Q}}$} ]$$

$$= 2 [ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2},\sqrt{3}), \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2})] [ \mbox{${\mathbb{Q}}$} (\sqrt{2}), \mbox{${\mathbb{Q}}$} ]$$

$$= 2 \cdot 2 \cdot 2 =8.$$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10})$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のベクトル空間として

$$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15}, \sqrt{30}$$

の $8$ つで生成されていることが容易にわかるから、 上の次元の計算はこれら $8$ つが $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上一次独立であることを保証している ことにも注意しておこう。

Part II) $\operatorname{Gal}(L_1/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ を求めよう。 $L_1$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の生成元 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ の 共役はそれぞれ $L_1$ のなかに存在するので、$L_1$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の 有限次正規代数拡大、すなわちガロア拡大である。 $G=\operatorname{Gal}(L_1/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元は $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ の 各々の行き先(それぞれ二通り)を決めてやると決まり、高々 8個しかない。

他方で、 $\vert\operatorname{Gal}(L_1/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)\vert=[L_1:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=8$ であるから、結局上記可能性の すべてがガロア群の元として許されることになる。すなわち、 $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 \in \{\pm 1\}$ にたいして、 $\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}\in G=\operatorname{Gal}(L_1/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ を

$$\sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{2})=\epsilon_1 \sqrt{2}$$

$$\sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{3})=\epsilon_2 \sqrt{3}$$

$$\sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{10})=\epsilon_3 \sqrt{10}$$

となるように定めることができて、$G$ の元はかならずこう書ける。

Part III) $L_1=L$ を示そう。 $\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}$ を $\delta=6\sqrt{2}+5\sqrt{3}-2 \sqrt{10}$ . に作用させると、

$$\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi... ...}(\delta) = 6\epsilon_1 \sqrt{2}+5 \epsilon_2 \sqrt{3}-2 \epsilon_3 \sqrt{10}.$$

Part I) の最後に注意したように、 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上一次独立であるから、

$$\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi... ... \implies \quad \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}={\operatorname{id}}$$

がわかる。とくに、 $\operatorname{Gal}(L_1/L)={\operatorname{id}}.$ ガロアの基本定理によりこれは $L=L_1$ を意味している。

(2)

$$\delta=(a+5b )\sqrt{2}+(2a+3)\sqrt{3}+(4-6b)\sqrt{10}$$

であるから、

$$\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi... ...= (a+5b )\epsilon_1\sqrt{2}+(2a+3)\epsilon_2\sqrt{3}+(4-6b)\epsilon_3\sqrt{10}$$

である。 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$ が $\{\pm 1\}^3$ の中を うごくとき、上の式がちょうど二つの値をとるようにすればよい。 それには $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ の係数のうち、 ちょうど二つが 0 になるように選べば良いから、つぎの3とおりが考えられる。 (解答としてはこの中のどれでもいいから二つを書いてあれば良い。)

(あ) $a+5b=0, 2a+3=0$ , すなわち $a=-\frac{3}{2}, b=\frac{3}{10}$ のとき。

このときは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\delta)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{10})$ である。

(い) $a+5b=0, 4-6b=0$ , すなわち $a=-\frac{10}{3},b=\frac{2}{3}$ のとき。

このときは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\delta)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$ である。

(う) $2a+3=0, 4-6b=0$ , すなわち $a=-\frac{3}{2},b=\frac{2}{3}$ のとき。

このときは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\delta)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})$ である。