日本語技法 NO.2

[figure: 言葉の意味を決めておく : 定義]

議論を進める上で、まず大事なことは、ひとつひとつの言葉を皆が同じ意味に理解することである。 (これは簡単なことではない。たとえば憲法 9 条の例を考えよ。 )

言葉の意味を曖昧なく定めることを「定義する」という。たとえば、つぎの定義は、記号の使い方についての取り決めである。

定義 2.1.

ℤ = (整数の全体のなす集合), ℚ = (有理数の全体のなす集合), ℝ = (実数の全体のなす集合), ℂ = (複素数の全体のなす集合), ℕ = (0 以上の整数のなす集合).

余談ながら、 ℕ 以外は、良く出て来る記号なので覚えておいたほうが良い。 ℕ について、「自然数」に 0 を入れる流儀と入れない流儀がある。高校では混乱を避けるために一律「入れない」ことになっているが、どちらが「正しい」というわけでもない。議論のあいだじゅう一律に決めておけばそれでよい。

◎現代数学の建前では、 • 0 の定義.

• 1 の定義.

• a, b がわかっているときに、組 (a, b) の定義.

• 集合の定義. 等から始まって、自然数、実数、複素数と定義していくことになっ

ている。しかし、それを全部この講義でやると時間がなくなること必定なので、整数、有理数、実数、複素数、集合、写像などについては、ある程度 (つまり、高校卒業した程度) の知識があるとして以下議論を進める。ただし、「躓き易い部分」については適宜解説する。

2.1. 写像.

定義 2.2. 集合 S と集合 T が与えられているとする。 S の各元 s にたいして、ある T の元 (f(s) と書かれる) がはっきりと (ただ一通りに) 定まっているとき、 S から T への f という写像が定義されていると言う。さらに、このとき、 S を f の定義域 (または始集合) といい、 T を f の終集合と言う。注意。

(1) ようするに、 s が与えられているとき、 f(s) は誰が答えをだしても必ず (計算間違い等はもちろん除いて) 同じになる。ということが大事なのである。

(2) 大学レベルの数学では、始集合と終集合をまず指定してやることが大事である。同じ式で書かれるような写像でも、始集合や終集合が異なれば全く違う写像と考えるべきである。

例 2.1. つぎのおのおのの、「写像のようなもの」について考えよう。 (1) (平面三角形全体) ∋ Δ ↦ (a, b, c)(= Δ の三辺) ∈ ℝ^{3}

(2) (平面三角形全体) ∋ Δ ↦ (a+b+c) ∈ ℝ (a, b, c は Δ の三辺)

(3) ℝ ∋ x → \sqrt{x} ∈ ℝ

(4) ℝ_{>0} ∋ x → \sqrt{x} ∈ ℝ これらのうち、 (2),(4) は写像である (うまく定義されている)。 (ただし、 (4) については平方根を「非負のものをとる」と約束しておく。 ) (1),(3) は写像ではない (うまく定義されていない)。

問題 2.1. つぎのような写像 f : ℚ → ℤ を作りたい。

(*)  f(1/3) = 3, f(2/5) = 5, f(355/113) = 113, …

このとき、

(1) f を

f(m/n) = n (m, n ∈ ℤ, n ≠ 0)

と定義しようとしても、これはうまく定義されていないことを示しなさい。

(2) (1) を修正して、 (*) を満たす写像 f の例を作りなさい。

前回小テストの間違いの例

(誤り 1) すべての正の数 ϵ に対して |x − a| < δ を満たす δ が存在するならば |f(x) − f(a)| < ϵ が成立する。

(誤り 2) ある任意の正数 ϵ に対して |x−a| < δ ならば |f(x)−f(a)| < ϵ が成り立つとき正数 δ が存在する。

(誤り 3) 任意の数 ϵ が 0 より大きいとき、 (|x − a| < δ ならば |f(x) − f(a)| < ϵ) を満たすある δ は 0 より大きい。

(誤り 4) 任意の ϵ が正の数のとき、 |x − a| < δ ならば |f(x) − f(a)| < ϵ となるような正数 δ が存在する。

(誤り 5) |x − a| が δ より小さいとき、 |f(x) − f(a)| < ϵ となるような正の任意の ϵ と正の δ が存在すれば、点 a で連続であると言える。

(誤り 6) 任意の ϵ > 0 にたいして |x − a| < δ である。それならば |f(x) − f(a)| < ϵ となるような δ > 0 が存在する。

◯それぞれどこが間違っているか考えるのは良い勉強になる。もっと詳しくはこれからの講義で解説する予定である。