写像

定義 2.2   集合 $S$ と 集合 $T$ が与えられているとする。 $S$ の各元 $s$ にたいして、 ある $T$ の元 ($f(s)$ と書かれる) がはっきりと(ただ一通りに) 定まっているとき、$S$ から $T$ への $f$ という写像が 定義されていると言う。 さらに、このとき、$S$ を $f$ の定義域(または始集合)といい、$T$ を $f$ の 終集合と言う。

注意。

1. ようするに、$s$ が与えられているとき、$f(s)$ は 誰が答えをだしても必ず(計算間違い等はもちろん除いて) 同じになる。ということが大事なのである。

2. 大学レベルの数学では、始集合と終集合をまず指定してやることが大事である。 同じ式で書かれるような写像でも、始集合や 終集合が異なれば全く違う写像と考えるべきである。

例 2.1   つぎのおのおのの、「写像のようなもの」について考えよう。

1. $($平面三角形全体$)\ni \Delta \mapsto (a,b,c) (=$ $&Delta#Delta;$ の三辺$)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$
2. $($平面三角形全体$)\ni \Delta \mapsto (a+b+c)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\qquad ($$a,b,c$ は $&Delta#Delta;$ の三辺$)$
3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \to \sqrt{x} \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
4. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \to \sqrt{x} \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$

これらのうち、(2),(4) は写像である(うまく定義されている)。 (ただし、(4)については平方根を「非負のものをとる」と約束しておく。) (1),(3) は写像ではない(うまく定義されていない)。

問題 2.1   つぎのような写像 $f:$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を作りたい。

$$f(1/3)=3, f(2/5)=5, f(355/113)=113,\dots$$ (*)

このとき、

1. $f$ を
   $$f(m/n)=n \qquad (m,n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, n\neq 0)$$
   と定義しようとしても、これはうまく定義されていないことを 示しなさい。
2. (1)を修正して、 (*) を満たす写像 $f$ の例を作りなさい。

前回小テストの間違いの例

(誤り1) すべての正の数 $\epsilon$ に対して $\vert x-a\vert<\delta$ を満たす $\delta$ が存在するならば $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ が成立する。

(誤り2) ある任意の正数 $\epsilon$ に対して $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ が成り立つとき 正数 $\delta$ が存在する。

(誤り3) 任意の数 $\epsilon$ が 0 より大きいとき、 ( $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ ) を満たす ある $\delta$ は 0 より大きい。

(誤り4) 任意の $\epsilon$ が正の数のとき、 $\vert x-a\vert<\delta$ ならば $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ となるような正数 $\delta$ が存在する。

(誤り5) $\vert x-a\vert$ が $\delta$ より小さいとき、 $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ となるような正の任意の $\epsilon$ と 正の $\delta$ が存在すれば、 点 $a$ で連続であると言える。

(誤り6)任意の $\epsilon>0$ にたいして $\vert x-a\vert<\delta$ である。 それならば $\vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$ となるような $\delta>0$ が存在する。

◯それぞれどこが間違っているか考えるのは良い勉強になる。 もっと詳しくはこれからの講義で解説する予定である。