日本語技法 NO.4

[figure: ∀ と ∃]

定義 4.1. 変数 x を含むような命題 P にたいして、

(1) ∀x(P (x)) は「どのような x にたいしても、 P (x) が成り立つ」という意味である。

(2) ∃x(P (x)) は「少なくとも一つの x にたいして、 P (x) が成り立つ」という意味である。

原理的には、 ∀, ∃ および前回の論理記号と、集合論の幾つかの記号を組み合わせることにより、数学のすべての言葉を記号列に翻訳できる。

例えばつぎの文は、「数学的帰納法」を表現したものである。

∀S(0 ∈ S and (∀n ∈ ℕ(n ∈ S ⟹ (n + 1) ∈ S)) ⟹ ℕ ⊂ S)

また、つぎの文章は、「(X, 𝒰) は位相空間である」ということ (の定義) を述べたものである。

(1) 𝒰 ⊂ 2^{X}.

(2) (∅ ∈ 𝒰) and (X ∈ 𝒰).

(3) ∀U(∀V (U, V ∈ 𝒰 ⟹ U ∩ V ∈ 𝒰)).

(4) ∀𝒮(𝒮 ⊂ 𝒰 ⟹ ⋂_{U∈𝒮} U ∈ 𝒰).

数学における論理は、これらの記号列に関する「単純な計算」である。つまり、「論理を追う」とは、これらの単純な計算を間違いなく素早く行なうことである。それは、かけ算の九九と同じように、練習をすればほとんど誰でもできる。ただし、つぎのような練習が必要である。

(1) 計算法を覚えること。

(2) 時おり計算の意味を考えること。

(3) 発展問題について解いてみること。

さしあたって今回は、つぎのことに注意しよう。

[figure: 登場人物 (x や y などの変数) の出てくる順番が大事である。]

例えば、 J = { グー、チョキ、パー }, にたいして、 x ≻ y を、「x は y より強い」というふうに定義すると。

∀x ∈ J(∃y ∈ J(y ≻ x))

は真の命題だが、

∃y ∈ J(∀x ∈ J(y ≻ x))

日本語技法 NO.4

は偽の命題である。問題 4.1. 変数 x, y についての命題 P (x, y) で、

∀x∃y(P (x, y))

は真の命題だが、

∃y∀x(P (x, y))

は偽の命題であるようなものを挙げ、どうしてそうなのか解説を書きなさい。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(補遺)

∀x ∈ J(P (x))

はきちんと書くと

∀x(x ∈ J ⟹ P (x))

という意味、

∃y ∈ J(P (y))

はきちんと書くと

∃y(y ∈ J and P (y))

という意味の省略形である。