日本語技法 NO.6

[figure: 集合算] x についての命題 P (x) と

S_{P} = {x; P (x)}

を対応づけると、命題の議論を集合の議論に置き換えられることがある。それ以外にも、命題と集合とのあいだには密接な関係がある。

S_{P} ∩ S_{Q} = {x; P (x) ∧ Q(x)}
S_{P} ∪ S_{Q} = {x; P (x) ∨ Q(x)}
∁S_{P} = {x; ¬P (x)}

集合の包含関係

S ⊂ T ⇔ ∀s(s ∈ S ⟹ s ∈ T)

集合を扱うときに、例えば、 • 有理数

• 有理数の集合

• 有理数全体の集合はそれぞれ違うものである。明確に区別する必要がある。

集合と写像を組み合わせた問題は、論理力をみがく格好の材料である。

定義 6.1. 写像 f : X → Y が与えられているとき、 (1) X の部分集合 A に対して

{f(x); x ∈ A}

を A の f による像といい、 f(A) で表す。

(2) Y の部分集合 B に対して

{x ∈ X; f(x) ∈ B}

を B の f による逆像といい、 f^{−1}(B) で表す。

レポート解答における注意事項

• すでに証明された結果 (... である。 ) と、これから証明すべき結果 (... を証明しよう。 )、仮定 (... を仮定する) の区別が明確になるように書くこと。

• 図やグラフを描いた場合、そのどの部分に着目するかを必ず書くこと。問題 6.1. 定義 6.1 の状況の下で、 A_{1}, A_{2} ⊂ X, B_{1}, B_{2} ⊂ Y とするとき、

f(A_{1}) ∩ f(A_{2}) = f(A_{1} ∩ A_{2}) (あ)

f^{−1}(B_{1}) ∩ f^{−1}(B_{2}) = f^{−1}(B_{1} ∩ B_{2}) (い)

はいつでも正しいだろうか。正しい場合には証明し、正しくない場合には具体的な反例を挙げよ。

面白いことに、写像を扱う上では、「像」よりも「逆像」のほうが楽な場合が多い。たとえば、「逆像をとる」という操作は集合の和、共通部分を考える操作など多くの操作と可換である。