日本語技法 NO.7

前回の小テスト問題の解答と、考え方、解答の書き方を解説し、前半のまとめとしよう。

[前回の問題] 写像 f : X → Y が与えられているとする。 A_{1}, A_{2} ⊂ X, B_{1}, B_{2} ⊂ Y とするとき、

f(A_{1}) ∩ f(A_{2}) = f(A_{1} ∩ A_{2}) (あ)

f^{−1}(B_{1}) ∩ f^{−1}(B_{2}) = f^{−1}(B_{1} ∩ B_{2}) (い)

はいつでも正しいだろうか。正しい場合には証明し、正しくない場合には具体的な反例を挙げよ。

(1) アイディアを得るためには、例を駆使したり、たとえ話を考えたりする。そのさい、必ずしも論理的である必要はない。

(2) 良いアイディアが浮かんだら、今度は論理の活躍する番である。一歩一歩着実に確かめるのが良い。

(3) アイディアが浮かばない場合などに、問題を「論理記号」などの記号で全部書いてしまうのが有効な場合もある ( 「和文数訳」 )。問題が整理されて見やすくなるからだ。

(4) 論理がしっかりしたら、つぎに、それを他人にうまく説明するのにはどうすれば良いかを考える。

「証明」は「道案内」に似ている。出発点は既存の知識であり、到達点は定理の主張である。その見方からすると、

(1) アイディアを得るのは、目的地への道筋をあれこれ思案することにあたる。そのさい、必ずしもそれらの道筋を実際に歩いてみる必要はない。

(2) 道筋が決まったら、今度は実際の案内の番である。一歩一歩着実に確かめるのが良い。 (思考のように「ワープ」するわけにはいかない。 )

(3) ちょっと記憶があやふやになったような場合には、筋の名前を地図で確認することが有効な場合がある。

(4) 案内を確実にするためには、相手にわかりやすく説明しながらいくのがよい。そうすれば、相手が不安にならずにすむし、同じ箇所を二度案内する必要もなくなる。

問題 7.1. 写像 f : X → Y が与えられているとする。 A ⊂ X とするとき、

f(∁A) = ∁f(A)

はいつでも正しいだろうか。正しい場合には証明し、正しくない場合には具体的な反例を挙げよ。