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数学概論1A要約 No.1

本講義の目的 : \fbox{極限と連続性の詳論}

第一回目の主題 : \fbox{数学の表記法}

定義 1.1   以下この講義では次のような記号を用いる。
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : 整数全体のなす集合。

  2. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : 有理数全体のなす集合。

  3. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ : 実数全体のなす集合。

  4. $ {\mathbb{C}}$ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。

定義 1.2   実数 $ a,b$ について、閉区間 $ [a,b]$ と開区間 $ (a,b)$ を つぎの式で定める。

$\displaystyle [a,b]$ $\displaystyle =\{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 804
$\displaystyle \vert a\leq x \leq b\}$    
$\displaystyle (a,b)$ $\displaystyle =\{x \in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle \vert a < x < b\}$    

$ [a,b]$ には端点があって、そこでのようすは $ [a,b]$ のほかの点の ようすと大きく異っている。それに対して、$ (a,b)$ の各点はどの点も似ている。

上限, 上界

定義 1.3   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $ A$ が与えられているとする。 このとき
  1. $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ A$ の上界 (upper bound)であるとは、

    % latex2html id marker 830
$\displaystyle \forall x\in A (x\leq a)
$

    (つまり、どの $ x\in A$ をもってきても % latex2html id marker 834
$ x\leq a$ ) が成り立つときに言う。
  2. $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ A$ の上限(supremum)であるとは、 $ A$ の上界のうち最小のものをいう。

◎ 集合の上界は存在するとは限らない。 また、上界が存在したとしても一般にはいくつもあることに注意。

定義 1.4   集合 $ A\subset$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ が上に有界であるとは、 $ A$ が上界を少なくとも一つもつときに言う。

次の定理は実数の基本的な性質である。次回以降詳しく解説する。

定理 1.1   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $ A$ で、上に有界なものは、必ず上限を唯一つもつ。

問題 1.1  

$\displaystyle S=\{ x\in$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle ; x^3-25 x -100 <0\}
$

は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。



2007-04-06