数学概論 1A 要約 NO.2

数列と収束の定義 •\underline{定義とは、言葉の使い方のとりきめのことである}。数学では、どのような言葉も、そのような取り決めなしで使われることはない。 (ただし、「整数」「有理数」、「和」、「積」などの言葉をきちんと定義するのは手間がかかる。それらについて詳細に定義するのはこの講義では控える。 (端的に言えば、整数は帰納法を援用して定義し、有理数は整数の「商」 m/n に適当な「等しいかどうかの判定規則」と定義する。 ) それらについて詳細に定義するのはこの講義では控える。実数は有理数の極限として定義するのだが、今日はその「極限」の話題である。 ) •\underline{∀ と ∃ とはなにか。}

∀x....

は、「どんな x に対しても、 .... がなりたつ」という意味。

∃x....

は、「なにかある一つの x に対しては、 .... がなりたつ」という意味で用いる。

定義 2.1. 集合 X から集合 Y への写像 (=関数) f が与えられているとは、 X の各元 x に対してその像 f(x) が (いつどこで誰が計算しても、間違いさえなければ) 一通りに決まっているときに言う。

正の整数の全体のことをこの講義では ℤ_{>0} と書く。数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.2. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} とは、 ℤ_{>0} から ℝ への写像のことである。

数列が「収束する」ということの厳密な定義をしよう。それには、絶対値を用いる。

定義 2.3.

|x| = \sqrt{x^{2}} = \begin{cases}x & if x ≥ 0 \\ −x & if x < 0 \end{cases}

(ただし平方根は 0 以上のほうを選ぶ。 )

定義 2.4. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が実数 c に収束するとは、

∀ϵ > 0∃N(n > N ⟹ |a_{n} − c| < ϵ)

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は達せられたと言って良い。

問題 2.1. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = \begin{cases}1 & n が 10 の倍数のとき \\ 0 & その他のとき \end{cases}

で定義するとき、 a_{n} は何かある値に収束するだろうか。上の定義に基づいて理由を述べて答えなさい。