数学概論 1A 要約 NO.3

数列の収束の定義とそれに関する諸定理収束の定義は前回の定義 2.4 で述べた通りである。それでは定義 2.4

の判定法を満たす c は唯一つだろうか？定理 3.1. 数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が (ある人が確かめたところ) c に収束し、 (別の人が確かめたところ) c′ にも収束するなら、

c = c′

である。つまり、数列の収束先は存在するとしたら唯一つしかない。

そこで、つぎのように定義することができる。定義 3.1. 数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} がある数 c に収束するとき、

lim_{n→∞} a_{n} = c

と書いて、 c のことを {a_{n}} の極限と呼ぶ。

定義のあとは、これに慣れるためにいくつか練習を行なう。まずは、例である。例 3.1.

lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0.

厳密には、上の例の証明には次のようなことを使う。補題 3.1. 任意の実数 r に対して、それよりも大きな整数 n が存在する。

さて、つぎには極限のもつ一般的な性質について知らねばならない。次のような事実が基本的である。定理 3.2. 極限をとるという操作は和、差、積、商、大小関係を保存する。

具体的な意味はテキストの “定理 1.4” と “定理 1.2” を参照のこと。このような定理に厳密な証明をつけ得ることが定義 2.4 の良いところである。問題 3.1.

lim_{n→∞} \frac{n − 1}{n + 1}

を求め、その答が確かに正しいことを定義 2.4 で述べた定義に基づいて証明せよ。