数学概論 1A 要約 NO.4

収束に関する諸定理 (2), 単調増加・減少数列．

お持ち帰りにいたしますか?ここでお食べになりますか?

–どちらでもいいです. (マクドナルドにて by フヘ)

• 三角不等式

|a + b| ≤ |a| + |b| (∀a, ∀b ∈ ℝ)

定理 4.1. (テキスト “定理 1.2”)

(1)

lim_{n→∞} a_{n} = α ⇔ lim_{n→∞} |a_{n} − α| = 0

(2) a_{n} ≤ b_{n} (∀n) で、かつ {a_{n}}, {b_{n}} が収束するなら、

lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n}

(3) a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} (∀n) で、かつ {a_{n}}, {b_{n}} が同じ数 α に収束するなら、 {c_{n}} も α に収束する。

定理 4.2. (テキスト “定理 1.3”) 収束する数列は有界である。

定理 4.3. (テキスト “定理 1.4”) 実数列 {a_{n}}, {b_{n}} はそれぞれ収束するとする。このとき、

(1) 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 ∀λ, μ ∈ ℝ に対して lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) は収束して、

lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) = λ( lim_{n→∞} a_{n}) + μ( lim_{n→∞} b_{n})

(2) 「実数の乗法は連続である。」

lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})( lim_{n→∞} b_{n})

(3) 実数の除法は「連続」である。もっと詳しく言うと、 lim_{n→∞} b_{n} ≠ 0 なら、有限個の例外を除いて b_{n} ≠ 0 であって、

lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})/( lim_{n→∞} b_{n}).

定義 4.1. 実数列 {a_{n}} が単調増加であるとは、

∀n∀m(n ≥ m ⟹ a_{n} ≥ a_{m})

がなりたつときにいう。

次の定理は、既知の数から未知の数 (e など) を作り出すときに有効である。

定理 4.4. (テキスト “定理 1.5”) 上に有界な単調増加数列は収束する。

問題 4.1. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が c に収束するとき、

{a_{n}^{3} + 5a_{n}^{2} + 7}_{n=1}^{∞}

は収束すると言えるだろうか。言えるならばその収束先と理由を、言えないならば反例を作りなさい。