数学概論 1A 要約 NO.5

単調増加・減少数列 (2), 数 e

• 「みんなが満足するおいしいパンを作る店」を作るには？否定するには？

• 収束の定義の「どんな精度でも ok」とはどういうことか？ • 記号を使って自動化。

定理 5.1. (“例 1.8”)

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

とおく。このとき {a_{n}}_{n=1}^{∞} はある正の値に収束する。

定義 5.1. 収束値

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}

のことを e と書き、ネイピアの数とか、自然対数の底と呼ぶ。

命題 5.2. ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} は収束し、

e ≤ ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}

がなりたつ。

問題 5.1. 正の実数列 {a_{n}} と {b_{n}} が、次の二つの条件を満たすとする。 (1) ∀n にたいしてa_{n} < b_{n}.

(2) {a_{n}} は a, {b_{n}} は b にそれぞれ収束する。このとき、 a < b と必ず言えるだろうか？言えるならば証明を、言えない場合には反例を挙げなさい。 (ヒント: a > b となることはないが、 a = b となることは...?)