数学概論1A要約 No.5

• 「みんなが満足するおいしいパンを作る店」を作るには？否定するには？
• 収束の定義の「どんな精度でもok」とはどういうことか？
• 記号を使って自動化。

定理 5.1 (``例1.8'')  

$$a_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

とおく。このとき $\{a_n \}_{n=1}^\infty$ はある正の値に収束する。

定義 5.1   収束値

$$\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

のことを $e$ と書き、ネイピアの数とか、自然対数の底と呼ぶ。

命題 5.2   $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ は収束し、

$$e\leq \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$

がなりたつ。

問題 5.1   正の実数列 $\{a_n\}$ と$\{b_n\}$ が、次の二つの条件を満たすとする。

1. $\forall n$    にたいして $a_n< b_n.$
2. $\{a_n\}$ は $a$ , $\{b_n\}$ は $b$ にそれぞれ収束する。

このとき、$a<b$ と必ず言えるだろうか？言えるならば証明を、 言えない場合には反例を挙げなさい。 (ヒント: $a>b$ となることはないが、 $a=b$ となることは...?)