数学概論 1A 要約 NO.6

区間縮小法と部分列

定理 6.1. (“定理 1.6”[区間縮小法]) \underline{閉}区間の列 I_{n} について、 I_{1} ⊃ I_{2} ⊃ I_{3} ⊃ I_{4} ⊃ … がなりたつとする。このとき、

⋂_{n} I_{n} ≠ ∅.

さらに、 I_{n} の長さを length(I_{n}) と書くとき、

lim_{n→∞}(length(I_{n})) = 0

のなりたつならば、 ⋂_{n} I_{n} はただ一点のみからなる。

定義 6.1. 数列 {a_{n}} が与えられているとする。このとき、自然数の増加列 n_{1} < n_{2} < n_{3} … を定めて、

{a_{n_{j}}; j = 1, 2, 3, … } = {a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} = {a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, a_{n_{3}}, … }

を {a_{n}} の部分列という。 (テキストの 1.2.6 は少し書き間違いがあるので注意。 )

定理 6.2. (“定理 1.9”)[ボルツァノ・ワイエルシュトラス] 有界な数列は、収束する部分列を持つ。

問題 6.1. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = \frac{(n の (正の) 約数の数)}{n}

で定義する。このとき、 (1) a_{1}, a_{2}, a_{3},…, a_{15} を折れ線グラフに描きなさい。

(2) {a_{n}} は収束するか、理由を挙げて答えなさい。

(3) {a_{n}} の部分列で収束するものがあれば、その具体例を答えなさい。