数学概論 1A 要約 NO.7

コーシー列定義 7.1. 数列 {a_{n}} がコーシー列であるとは、

∀ϵ > 0∃N∀n, m ≥ N |a_{n} − a_{m}| < ϵ

がなりたつときに言う。補題 7.1. 実数の収束列はコーシー列である。定理 7.1 (“定理 1.8”). コーシー列は収束列である。問題 7.1. 実数 x に対して、 x の整数部分を ⌊x⌋ と書き、 x の小数部分 x − ⌊x⌋ を ⟨x⟩ とここでは書くことにする。 α は無理数であるとする。このとき、

(1) 数列 {⟨nα⟩}_{n=1}^{∞}, すなわち

{⟨α⟩, ⟨2α⟩, ⟨3α⟩, ⟨4α⟩, … }

は収束する部分列を持つことを示しなさい。

(2) 任意の ϵ > 0 に対して、

|⟨nα⟩ − ⟨mα⟩| < ϵ

を満たす整数 n, m の組が無限個存在することを示しなさい。 (3) 任意の ϵ > 0 に対して、

|α − \frac{k}{l} | < \frac{ϵ}{l}

を満たすような整数の組 k, l が存在することを示しなさい。 (ヒント: (2) は、 n − m = l とおくとき

|lα − k| < ϵ

がある整数 k にたいしてなりたつことを意味する。 (なぜか？ ))

A α alpha アルファギリシャ文字の表。 ; • 左から順に、大文字、小 ; 文字、英語での読み、日本 ; 語での読み方を書いた。 (た ; だし、「日本語での読み方」 ; はだいたいの目安に過ぎ ; ない。 ) ; • A, B, E など、通常のア ; ルファベットと同じに見え ; る文字は、ふつうは数学で ; は用いられない。 ; • 逆に、同じ読みでも二つ ; 以上の文字がある場合、数 ; 学では二つを区別し、それ ; ぞれ別の意味で用いること ; がある。
B β beta  ベータ
Γ γ gamma ガンマ
Δ δ delta  デルタ
E ϵ, ε epsilon イプシロン
Z ζ zeta  ゼータ
H η eta  エータ
Θ θ, ϑ theta  シータ
I ι iota  イオタ
K κ kappa カッパ
Λ λ lambda ラムダ
M μ mu  ミュー
N ν nu  ニュー
Ξ ξ xi  グザイ
O o omicron オミクロン
Π π, ϖ pi  パイ
P ρ, ϱ rho  ロー
Σ σ, ς sigma シグマ
T τ tau  タウ
Υ υ upsilon ウプシロン
Φ ϕ, φ phi  ファイ
X χ chi  カイ
Ψ ψ psi  プサイ
Ω ω omega オメガ