数学概論1A要約 No.7

定義 7.1   数列 $\{a_n\}$ がコーシー列であるとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N \forall n,m \geq N \quad \vert a_n-a_m\vert<\epsilon$$

がなりたつときに言う。

補題 7.1   実数の収束列はコーシー列である。

定理 7.1 (``定理1.8'')   コーシー列は収束列である。

問題 7.1   実数 $x$ に対して、 $x$ の整数部分を $\lfloor x \rfloor$ と書き、 $x$ の小数部分 $x-\lfloor x \rfloor$ を $\langle x \rangle$ と ここでは書くことにする。 $\alpha$ は無理数であるとする。このとき、

1. 数列 $\{ \langle n \alpha \rangle \}_{n=1}^\infty$ , すなわち
   $$\{ \langle \alpha \rangle, \langle 2 \alpha \rangle,\langle 3\alpha \rangle, \langle 4\alpha \rangle, \dots\}$$
   は収束する部分列を持つことを示しなさい。
2. 任意の $\epsilon >0$ に対して、
   $$\vert\langle n \alpha \rangle - \langle m \alpha \rangle\vert < \epsilon$$
   を満たす整数 $n,m$ の組が無限個存在することを示しなさい。
3. 任意の $\epsilon >0$ に対して、
   $$\vert \alpha - \frac{k}{l} \vert <\frac{\epsilon}{l}$$
   を満たすような整数の組 $k,l$ が存在することを示しなさい。 (ヒント: (2)は、$n-m=l$ とおくとき
   $$\vert l \alpha -k\vert < \epsilon$$
   がある整数 $k$ にたいしてなりたつことを意味する。(なぜか？))

$A$	$\alpha$	アルファ
$B$	$\beta$	ベータ
$\Gamma$	$\gamma$	ガンマ
$\Delta$	$\delta$	デルタ
$E$	$\epsilon,\varepsilon$	イプシロン
$Z$	$\zeta$	ゼータ
$H$	$\eta$	エータ
$\Theta$	$\theta,\vartheta$	シータ
$I$	$\iota$	イオタ
$K$	$\kappa$	カッパ
$\Lambda$	$\lambda$	ラムダ
$M$	$\mu$	ミュー
$N$	$\nu$	ニュー
$\Xi$	$\xi$	グザイ
$O$	$o$	オミクロン
$\Pi$	$\pi,\varpi$	パイ
$P$	$\rho, \varrho$	ロー
$\Sigma$	$\sigma, \varsigma$	シグマ
$T$	$\tau$	タウ
$\Upsilon$	$\upsilon$	ウプシロン
$\Phi$	$\phi$ , $\varphi$	ファイ
$X$	$\chi$	カイ
$\Psi$	$\psi$	プサイ
$\Omega$	$\omega$	オメガ