数学概論1A要約 No.8

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

これから、 「$a$ の近くで定義されている(実数値)関数 $f$ 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況を同時に満足していることを 言い表す言葉である。

1. $f$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある部分集合 $S$ 上定義されている関数 ( $f: S\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ )である。
2. $S$ は $a$ を含むある開区間 $I$ を部分集合として含む

定義 8.1 ( ``1.3.2'' )  

$f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値 は $A$ である (「$x\to a$ のとき $f$ は $A$ に収束する」とも言う) とは、

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<\vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-A\vert<\epsilon)$$

が満たされるときに言う。

($x\to a$ の過程において、「$x=a$ を許さない」というのが 一つのポイントである。)

補題 8.1   上の定義の状況のもとで、関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ に近づくときの極限値は 存在するとすれば唯一つである。

定義 8.2   $f(x)$ の $x\to a$ の極限を(それがもし存在すれば、)

$$\lim_{x\to a} f(x)$$

とかく。

定義 8.3 ( ``1.3.3'' )  

$f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の右極限値 は $A$ である (「 $x\downarrow a$ のとき $f$ は $A$ に収束する」とも言う) とは、

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( 0<x-a<\delta \implies \vert f(x)-A\vert<\epsilon)$$

が満たされるときに言う。$f$ および $a$ が与えられたとき、右極限値も もし存在すれば一意的である。これを

$$\lim_{x\downarrow a} f(x)$$    あるいは $$\lim_{x\to a+0} f(x)$$

と書く。左極限値も同様に定義される。

問題 8.1  

関数 $f,g$ が実数 $a$ の近くで定義されていて、

$$\lim_{x\to a} f(x)=A \lim_{x\to a}{g(x)} =B$$

がそれぞれ存在し、なおかつ $B\neq 0$ であるとき、 $f/g$ も $a$ の近くで定義されて(すなわち、 ある $c>0$ が存在して、

$$(a-c,a+c)\ni x \to \frac{f(x)}{g(x)}$$

が分母が 0 にならずに定義されて)

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{A}{B}$$

であることを証明しなさい。