数学概論1A要約 No.9

定義 9.1   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、$f$ が $a$ で連続であるとは、次の 二条件が同時に満足されるときに言う。

1. $x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限値 $A$ が存在する。
2. $f(a)=A$ .

上の二条件はまとめて

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

と書かれることが多い。ただし、こう書かれてはいても、 上の二つのことを確かめる必要があることを 覚えておくことが大事である。

定理 9.1   $f$ は実数 $a$ の近くで定義された関数であるとする。 このとき、 $f$ が $a$ で連続であることは、次の条件と同値である。

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

上の定義で、 $\vert x-a\vert$ は $x$ と $a$ の距離、 $f(x)-f(a)$ は $f(x)$ と $f(a)$ の距離であることに注意する。上の定理による連続性の「定義」は 多変数関数や、距離空間のあいだの写像の連続性の定義に そのまま一般化することができる。

問題 9.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で定義された関数 $f(x): x\to x^2$ にたいして、

1. $a=1$ のとき、
   $$\vert x-a\vert<\delta \ \implies \vert f(x)-f(a)\vert <0.1$$
   を満たす正の数 $\delta$ の例を挙げ、 実際にそれがなりたつことを確かめなさい。

2. 上と同様のことを $a=10$ で行ないなさい。 すなわち、$a=10$ のとき、
   $$\vert x-a\vert<\delta \ \implies \vert f(x)-f(a)\vert <0.1$$
   を満たす正の数 $\delta$ の例を挙げ、 実際にそれがなりたつことを確かめなさい。

3. 上と同様のことを $a=100$ で行ないなさい。
4. 任意の実数 $a$ に対して、 $f(x)$ は $a$ で連続であることを 示しなさい。