数学概論 1A 要約 NO.10

極限に関する定理

定理 10.1 (“教科書定理 1.9”). 3 つの関数 f, g, h が、実数 a を含む区間 D で定義されており、 x ∈ D (x ≠ a) で、 f(x) ≤ g(x) とする。このとき、

(1) x → a のときの f(x), g(x) の極限がともに存在すれば、

lim_{x→a} f(x) ≤ lim_{x→a} g(x).

(2) x ∈ D(x ≠ a) の範囲で、 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) であって、なおかつ

lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) (この等しい値を A とおく)

がなりたつとすると、 h(x) も x → a のときの極限が存在して、 A に等しい。

定理 10.2. f, g が a の近くで定義されており、

lim_{x→a} f(x) = A, lim_{x→a} g(x) = B

がそれぞれ存在するとする。このとき、 (1) lim_{x→a}(c_{1}f(x) + c_{2}g(x)) = c_{1}A + c_{2}B. (但し c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.)

(2) lim_{x→a}(f(x) · g(x)) = AB.

(3) B ≠ 0 のとき、ある正の実数 c が存在して、 g(x) は (a−c, a+c) で (定義されてなおかつ) 0 以外の値をとり、

lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} .

問題 10.1. f(x) = x^{3} + 3x − 5 とおく。このとき、正の実数 ϵ にたいして、

|x − 1| < δ ⟹ |f(x) − f(1)| < ϵ

をみたすような正の数 δ の例あげて、実際それを確かめなさい。

問題 10.2. 関数 f(x) が a の近くで定義されており、 f は a で連続、すなわち極限 A = lim_{x→a} f(x) が存在して f(a) と等しいとする。 (定理 9.1 を使うほうが簡明である。 ) このとき、点列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} が a に収束すれば、

lim_{n→∞} f(a_{n}) = A

であることを示しなさい。

問題 10.3. 前問の逆はどうか。すなわち、関数 f(x) が a の近くで定義されており、 f が、性質

[figure: {a に収束する任意の点列 \{a_{n}\}_{n=1}^{∞} にたいして、 \atop lim_{n→∞} f(a_{n}) = A}]

をみたせば、 f は a で連続であると言えるだろうか、理由を挙げて述べなさい。 (少しむずかしい)

\frac{n^{5}}{1.1^{n}} のいろいろな n についての値

\begin{matrix}n & n^{5} & (1.1)^{n} & \frac{n^{5}}{1.1} \\ 1 & 1 & 1.10 & 0.909 \\ 2 & 32 & 1.21 & 26.446 \\ 3 & 243 & 1.33 & 182.569 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 10 & 100000 & 2.59 & 38554.329 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 51 & 345025251 & 12912 & 2671922.994 \\ 52 & 380204032 & 14204 & 2676683.920 \\ 53 & 418195493 & 15624 & 2676498.687 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 100 & 10000000000 & 13780.61 & 725657.159 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 200 & 320000000000 & 189905276.53 & 1685.051 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 299 & 2389769101499 & 2379100905625.82 & 1.004 \\ 300 & 2430000000000 & 2617010996188.40 & 0.928 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 310 & 2862915100000 & 6787852539362.45 & 0.422 \end{matrix}

\frac{n^{5}}{1.1^{n}} |_{n=400} =0.0002839395524
\frac{n^{5}}{1.1^{n}} |_{n=500} =0.00000006287926297