数学概論1A要約 No.10

定理 10.1 (``教科書定理1.9'') 3つの関数

が、実数

を含む区間

で定義されており、 $x\in D$ $% latex2html id marker 865 $ (x\neq a)$$ で、 $% latex2html id marker 867 $ f(x)\leq g(x)$$ とする。このとき、

$x\to a$ のときのの極限がともに存在すれば、

$% latex2html id marker 873 $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \leq \lim_{x\to a} g(x). $$
$% latex2html id marker 875 $ x\in D (x\neq a)$$ の範囲で、 $% latex2html id marker 877 $ f(x)\leq h(x)\leq g(x)$$ であって、なおかつ

$% latex2html id marker 879 $\displaystyle \lim_{x\to a } f(x)=\lim_{x\to a} g(x) \quad($$ この等しい値を $A$ とおく $\displaystyle )$

がなりたつとすると、も $x\to a$ のときの極限が存在して、に等しい。

定理 10.2

が

の近くで定義されており、

$% latex2html id marker 897 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A,\quad \lim_{x\to a}g(x)=B $$

がそれぞれ存在するとする。このとき、

$\lim_{x\to a}(c_1 f(x)+c_2 g(x))=c_1 A +c_2 B$ . (但し $c_1,c_2 \in$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .)
$\lim_{x\to a}( f(x)\cdot g(x))= A B$ .
$% latex2html id marker 906 $ B\neq 0$$ のとき、ある正の実数が存在して、はで(定義されてなおかつ) 0 以外の値をとり、

$\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.$

問題 10.1

とおく。このとき、正の実数 $\epsilon$ にたいして、

$\displaystyle \vert x-1\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(1)\vert<\epsilon$

をみたすような正の数 $\delta$ の例あげて、実際それを確かめなさい。

問題 10.2 関数

が

の近くで定義されており、

は

で連続、すなわち極限 $A=\lim_{x\to a} f(x)$ が存在して

と等しいとする。 (定理9.1 を使うほうが簡明である。) このとき、点列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が

に収束すれば、

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$

であることを示しなさい。

問題 10.3 前問の逆はどうか。すなわち、関数

が

の近くで定義されており、

が、性質

に収束する任意の点列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ にたいして、

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$

をみたせば、はで連続であると言えるだろうか、理由を挙げて述べなさい。(少しむずかしい)

	$\displaystyle \left. \frac{n^5}{1.1^n}\right\vert _{n=400}=$	0	$\displaystyle .0002839395524$
	$\displaystyle \left.\frac{n^5}{1.1^n}\right\vert _{n=500}=$	0	$\displaystyle .00000006287926297$