数学概論 1A 要約 NO.11

連続関数の性質

定理 11.1 (“教科書定理 1.13”). 関数 f が x = a で連続とし、 f(a) > 0 とする。このとき、 ∃δ > 0 で、

(a − δ, a + δ) ⟹ f(a) > 0

を満たすものが存在する。

定理 11.2 (“教科書定理 1.14”, 中間値の定理). 関数 f が閉区間 [a, b] で連続とする。このとき f(a) と f(b) の中間の値 γ にたいして、 f(c) = γ をみたすような c ∈ [a, b] が存在する。

定理 11.3 (“教科書定理 1.15”, ワイエルシュトラスの定理). 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f は必ず最大値をとる。 (とくに f は [a, b] で有界である。

問題 11.1. ワイエルシュトラスの定理で、閉区間を考えているのは大変重要である。そこで、

(1) 開区間 (0, 1) で連続な関数 f で、有界でないものの例を挙げ、実際にそれが有界でないことを示しなさい。

(2) 開区間 (0, 1) で連続な関数 f で、有界だが、最大値をもたないものの例を挙げ、その f について実際に

{f(x); x ∈ (0, 1)}

の上限を求め、最大値は存在しないことを示しなさい。