数学概論 1A 要約 NO.12

逆関数・一様連続性

定義 12.1 (“教科書 1.1.4”). 関数 f : X → Y が (1) 単射であるとは、

x_{1}, x_{2} ∈ X, f(x_{1}) = f(x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2}

言い換えると、

x_{1}, x_{2} ∈ X, x_{1} ≠ x_{2} ⟹ f(x_{1}) ≠ f(x_{2})

であるときにいう。

(2) 全射であるとは、

∀y ∈ Y ∃x ∈ X; f(x) = y

であるときにいう。

(3) 全単射であるとは、単射でかつ全射でもある時に言う。

X が弓の集合、 Y がトリの集合だとする。関数とは、 X のおのおのからひとつづつ矢を発射、それぞれどれかのトリに当てることを意味している。

f が単射であるとは、各々の矢がそれぞれ別のトリに当たる (一つのトリに二つ以上の矢が当たることはない) と言う意味、 f が全射であるとは、すべての矢がそこにいる全てのトリにあたるという意味である。

同じ式でも定義域 X と終域 Y が何であるかによって、全射か単射かは異なる。次のことは、簡単だが大変重要である。

定理 12.1. (1) 関数 f : X → Y が全単射ならば、 f の逆写像が存

在する。

(2) 逆に関数 f : X → Y が逆写像を持つならば、 f は全単射である。

(3) 関数 f の逆写像は、存在すれば一意的である。

連続関数の場合はどうであろうか。一変数では関数の単調性がキーになる。

定義 12.2 (“1.3.6”). 実数のある区間 I で定義された関数 f が狭義単調増加関数であるとは、

x_{1}, x_{2} ∈ I, x_{1} < x_{2} ⟹ f(x_{1}) < f(x_{2})

をみたすときにいう。

定理 12.2 (“教科書定理 1.16”). f が閉区間 [a, b] 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

f : [a, b] → [f(a), f(b)]

の逆関数

f^{−1} : [f(a), f(b)] → [a, b]

が存在する。さらに、この f^{−1} は連続で、かつ狭義単調増加である。

問題 12.1. f は閉区間 [0, 1] 上の実数値連続関数 (f : [0, 1] → ℝ) で、 f(0) < f(1) であるとする。 f が単射ならば、 f は狭義単調増加でなければならないことを証明しなさい。

話は全然違うが、時間が許せば次のことも証明しておこう。 (使うのは二学期の積分論のとき。 )

定理 12.3. 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f は一様連続である。すなわち

∀ϵ > 0 ∈ [a, b]∃δ > 0; ∀x ∈ [a, b]∀y ∈ [a, b](|y−x| < δ ⟹ |f(y)−f(x)| < ϵ)

がなりたつ。