数学概論1A要約 No.12

定義 12.1 (``教科書1.1.4'')   関数 $f:X\to Y$ が

1. 単射 であるとは、
   $$x_1,x_2 \in X , f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$$
   言い換えると、
   $$x_1,x_2 \in X , x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$$
   であるときにいう。
2. 全射であるとは、
   $$\forall y\in Y \exists x\in X ; f(x)=y$$
   であるときにいう。
3. 全単射であるとは、単射でかつ全射でもある時に言う。

$X$ が弓の集合、$Y$ がトリの集合だとする。関数とは、 $X$ のおのおのからひとつづつ矢を発射、それぞれどれかの トリに当てることを意味している。

$f$ が単射であるとは、各々の矢がそれぞれ別のトリに 当たる(一つのトリに二つ以上の矢が当たることはない)と言う意味、 $f$ が全射であるとは、すべての矢がそこにいる全てのトリにあたる という意味である。

同じ式でも定義域 $X$ と 終域 $Y$ が何であるかによって、全射か単射かは 異なる。 次のことは、簡単だが大変重要である。

定理 12.1  

1. 関数 $f:X\to Y$ が全単射ならば、 $f$ の逆写像が存在する。
2. 逆に 関数 $f:X\to Y$ が逆写像を持つならば、$f$ は全単射である。
3. 関数 $f$ の逆写像は、存在すれば一意的である。

連続関数の場合はどうであろうか。一変数では関数の単調性がキーになる。

定義 12.2 (``1.3.6'')   実数のある区間 $I$ で定義された関数 $f$ が狭義単調増加関数であるとは、

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

をみたすときにいう。

定理 12.2 (``教科書定理1.16'')   $f$ が閉区間 $[a,b]$ 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

の逆関数

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

が存在する。 さらに、この $f^{-1}$ は連続で、かつ狭義単調増加である。

問題 12.1   $f$ は閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数 ( $f:[0,1]\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ) で、 $f(0)<f(1)$ であるとする。 $f$ が単射ならば、 $f$ は狭義単調増加でなければ ならないことを証明しなさい。

話は全然違うが、時間が許せば次のことも証明しておこう。 (使うのは二学期の積分論のとき。)

定理 12.3   閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ は一様連続である。すなわち

$$\forall \epsilon>0 \in [a,b] \exists \delta>0 ; \forall x\in [a,... ... \in [a,b] ( \vert y-x\vert<\delta \implies \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon)$$

がなりたつ。