数学概論1A試験問題

問題 15.1   $f(x)=x^3+3x^2-5x+7$ とおく。 正の数 $\epsilon$ と実数 $a$ が与えられたとするとき、

$$\vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)})$$

と置けば良い。 実際、このとき、 $x-a=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<1,$$ (あ)

$$(3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)\vert h\vert<\epsilon.$$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

$$\vert h\vert \leq \vert h\vert^2 \leq \vert h\vert^3.$$ (う)

がなりたつ。 これらに注意して $\vert f(x)-f(a)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(x)-f(a)\vert$$

$$= \vert(a+h)^3+3(a+h)^2-5(a+h)+7-(a^3+3 a -5 a +7)\vert$$

$$= \vert 3 a ^2 h + 3 a h^2 + h^3 +6 a h + 3 h^2 -5 h\vert$$

$$\leq \vert 3 a ^2 h\vert +\vert 3 a h^2\vert + \vert h^3\vert +\vert 6 a h\vert + \vert 3 h^2\vert + \vert 5 h\vert\qquad$$

$$\underset{\text{(う)}}{\leq} \vert 3 a ^2\vert \vert h\vert +\vert... ...ert h\vert +\vert 6 a\vert \vert h\vert + 3 \vert h\vert + 5 \vert h\vert\qquad$$

$$= (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9 ) \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

問題 15.2   $f(x)=\frac{1}{x^2}$ とおく。 $\epsilon>0$ が与えられたとするとき、

$$\vert x-10\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(10)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ を一つ挙げ、実際にその $\delta$ が 上記の性質を満たすことを示しなさい。

(解答)

$$\delta=\min(1,\epsilon)$$

とおけばよい。 実際、このとき、 $x-10=h$ とおいて、

$$\vert h\vert=\vert x-10\vert<\delta$$

とすると

$$\vert h\vert<1,$$ (あ)

$$\vert h\vert<\epsilon.$$ (い)

がなりたつ。さらに (あ)から

$$\vert h\vert \leq \vert h\vert^2 ,$$ (う)

$$\vert(10+h)\vert\underset{\text{三角不等式}}{\geq} 10-\vert h\vert \underset{\text{(あ)}}{ \geq} 9.$$ (え)

がなりたつ。これらに注意して $\vert f(10+h)-f(10)\vert$ を下のように評価すれば良い。

$$\vert f(10+h)-f(10)\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{(10+h)^2}-\frac{1}{10^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{10^2-(10+h)^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{-20 h - h^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot \vert 20 h+h^2\vert$$

$$\leq \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( \vert 20 h\vert+\vert h^2\vert) \qquad( )$$

$$\underset{\text{(う)}}{\leq} \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 20 \vert h\vert+\vert h\vert)$$

$$= \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 21 \vert h\vert)$$

$$\underset{\text{(え)}}\leq \frac{1}{10^2\cdot 9^2} \cdot 21 \vert h\vert \leq \vert h\vert \underset{\text{(い)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

問題 15.3   定数 $c$ を固定して、

$$% latex2html id marker 1001f_c(x)= \begin{cases} \sin(\fra... ...{ $x\neq 0$ のとき})\\ c & (\text{ $x= 0$ のとき}) \end{cases}$$

と定義する。この時、

1. $c= 0$ のとき、 $f_c(=f_0)$ は $x=0$ で連続でないことを証明しなさい。
2. $c\neq 0$ のとき、 $f_c$ は $x=0$ で連続でないことを証明しなさい。

ただし、三角関数 $\sin(x)$ については、次の3つのことは証明なしで用いても良い。 (それ以外の性質は適宜証明するか、論拠を提示して用いること。)

(S1).

$\sin(x+2 \pi)=\sin(x) \qquad(\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$).$

(S2).

$\sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

(S3).

$\sin(0)=0$ .

(解答)

(1) (S1), (S2) により、

$$\sin(\frac{\pi}{2}+ 2 n \pi)=1 \qquad(n=0,1,2,3,\dots).$$

が容易にわかる。 よって、

$$f_0(\frac{2}{(4 n +1)\pi})=1 \qquad(n=0,1,2,3,\dots).$$

もし仮に $f_0$ が $x=0$ で連続であったとすると、 (連続性の定義の $\epsilon$ として $\frac{1}{2}$ を採用して、)

$$\exists \delta>0 ; \left( \vert x-0\vert<\delta \ \implies \vert f_0(x)-f_0(0)\vert<\frac{1}{2}\right)$$ (あ)

がなりたたねばならない。ところが、このような $\delta$ にたいして $n_0$ として、

$$n_0=\left \ulcorner \frac{1}{\delta} \right \urcorner$$

(すなわち、 $\frac{1}{\delta}$ 以上であるような最小の整数)をとって、

$$a= \frac{2}{(4 n_0+1)\pi}$$

とおくと、

$$\vert a-0\vert=\vert a\vert<\delta$$    にもかかわらず $$\vert f_0(a)-f_0(0)\vert=1 \not < \frac{1}{2}$$

であることがわかる。 (この解答例では詳細は略するが、実際には確かめたほうが良い。) これは (あ) と矛盾するから、$f_0$ は $x=0$ で連続では ないことがわかる。 $\qedsymbol$

(2) (S1), (S3) により、

$$\sin( 2 n \pi)=0 \qquad(n=1,2,3,\dots).$$

が容易にわかる。 あとは、連続性の定義の $\epsilon$ として $c/2$ を 採用すれば (1) と同様の議論で $f_c$ が連続になり得ないことがわかる。

$\qedsymbol$

(解答の注意と補記)

(注意)

問題15.1 では、三角不等式の使い方が誤っている誤答例をよく見かけた。 ただしくなりたつのは

$$\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert$$

や

$$\vert a\vert-\vert b\vert\leq \vert a-b\vert$$

である。(なお、後者は前者の変数変換により容易に得られる。)

問題15.2 のポイントは、分母の評価である。 分母、分子ともに正の数の分数においては、 分母が小さくなるほど値が大きくなる。 したがって、解答例の(え)のような評価が必要である。

問題15.3 のグラフは教科書のP.18 にある。(ただし $x>0$ の部分だけ) この関数の $x=0$ での値をどう定めようと決して連続にはなり得ない というのが問題の意味。解答例では $n_0$ として $\ulcorner n_0 \urcorner$ を採用したが、もちろん他の値でも良い。ガウス記号を用いるのも良いし、 日本語で「○○より大きい整数」のように書いても良い。

(補記) 問題15.1, 15.2 は関数の連続性を問う問題である。 実際にはこれらの式の連続性を言うには、教科書の定理1.11 を 用いるほうがずっと易しい。 たとえば、問題15.1 の $f$ の連続性を確かめるにはつぎのようにしてやればよい。

(連続1).

$\epsilon$ -$\delta$ 論法によりつぎの二つの関数が連続であることを 確かめる.

1. 定数関数 $g_0(x)=1$ .
2. 関数 $g_1(x)=x$ .

(連続2).

つぎに、教科書の定理1.11 (2) をつかって、順に、

1. $g_1(x)$ 二つの積 $g_2(x)=g_1(x)\times g_1(x)=x^2$
2. $g_1(x)$ と $g_2(x)$ の積 $g_3(x)=x^3$

のような単項式で表される関数が連続であることを確かめる。

(連続3).

最後に、教科書の定理1.11 (1)を

1. $h(x)=x^3+3 x^2=g_3(x)+3 g_2(x)$
2. $k(x)=x^3+3 x^2-5x =h(x)-5 g_1(x)$
3. $f(x)=x^3+3 x^2-5x+7 =k(x)+7$

のような多項式に順に用いることにより、一般の多項式が連続であることを 確かめる。

ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)