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代数学 I No.4要約

復習

今日は復習と、定理や補題などの証明の 残していた部分を行う。そのあと、次のことについても 言及しよう。

例題 4.1   $17770430$ を $9$ で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 $n$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラス(剰余類)を $\bar{n}$ と書くことにする。 一般に、 $\overline{10}=\overline{1}$ であることに注意すると、

$$\overline{10}^k =\overline{1} \quad (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})$$

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

$$\overline{17770430} = \overline{ 1\times 10^7 +7\times 10^6 +7\times 10^5 +7\times 10^4 }$$

$$\overline{ +0\times 10^3 +4\times 10^2 +3\times 10^1 +0 }$$

$$= \overline{1}\times \overline{10}^7 +\overline{7}\times \overline{10}^6 +\overline{7}\times \overline{10}^5 +\overline{7}\times \overline{10}^4$$

$$+\overline{0}\times \overline{10}^3 +\overline{4}\times \overline{10}^2 +\overline{3}\times \overline{10}^1 +\overline{0}$$

$$= \overline{1} +\overline{7} +\overline{7} +\overline{7} +\overline{0} +\overline{4} +\overline{3} +\overline{0}$$

$$=\overline{1+7+7+7+0+4+3+0}$$

$$=\overline{29}=\overline{2\times 10+9}=\overline{2+9}=\overline{2}$$

を得る。

(答え)     $2$

(注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、 占い(バカラ占い)等で名残を見かけることがある。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

あなたの思い付いた8桁以上の数(簡単すぎないもの)を $x$ とします。 このとき、 $x \times 2718281828+1234567$ を9で割ったあまりを (計算機やコンピュータを使わずに) 求めなさい。$x$ 自身と、求め方も書くこと。なお、検算にコンピュータ等を 使用するのは構わないし、むしろ推奨する。

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、

$$[x]_{100} \circ [y]_{100}=[$$($x$ を $y$ で割った余り)$$]_{100}$$

と「定義」する。 (ただし、$[x]_{100}$ は整数 $x$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ でのクラスとする。) これは本当にうまく定義されているだろうか。