代数学 I NO.5 要約

今日のテーマ《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

定義 5.1. 可換環 R があたえられたとする。 (1) R に 0 以外の零因子がないなら、 R は整域であるという。

(2) R の 0 以外の元が R で可逆であるとき、 R は体であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.2. 可換環 R のイデアル I (R ≠ I) について、 (1) R/I が整域であるとき、 I は R の素イデアルであるという。 (2) R/I が体であるとき、 I は R の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1.

(1) ℤ のイデアル {0} は ℤ の素イデアルであるが、極大イデアルではない。

(2) 素数 p があたえられたとき、 ℤ のイデアル pℤ は ℤ の極大イデアルである。

(3) 正の整数 n が素数でないとき、 nℤ は ℤ のイデアルではあるが、素イデアルではない。

定義 5.3. 素数 p が与えられたとき、 ℤ/pℤ は (上の例に述べたように) 元の数が p の体である。この体を 𝔽_{p} と書く。

補題 5.1. 環 R と、その上の一変数多項式 f(X) が与えられているとする。 d = deg(f) (f の次数) とおくとき、

(1) R が整域ならば、 f(r) = 0 をみたす R の元 r は d 個以下である。

(2) R が整域でなければ、 f(r) = 0 をみたす R の元 r が d 個以上存在する場合もある。

(2) の例:

(1) R = ℤ/6ℤ, f(X) = 3X は一次式だが、 0, 2, 4 のどれを代入しても 0 である。

(2) R = ℤ/6ℤ, f(X) = (X − 1)(X − 2) は二次式だが、 1, 2, 4, 5 のどれを代入しても 0 である。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 正の数 n, d ≥ 2 と、 R = ℤ/nℤ 上の d 次多項式 f(X) で、 f(x) = 0 をみたす x ∈ R の数が d 個より多いものの例を挙げ、実際にそのような x ∈ R を d + 1 個以上書きなさい。