代数学 I No.7要約

《環の準同型定理の利用法》

例 7.1 (準同型定理の基本例1)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、

$$f([n]_{100})=[n]_{10} \quad \quad ($$   $[?]_n$ は $$ $/n$ $$ における $?$ の同値類 $$)$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は写像としてうまく定義されている。 すなわち、$f$ の定義は代表元のとり方によらない。
2. $f$ は環の準同型である。
3. $f$ の像は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 全体である。
4. $f$ の核は $10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ である。

よって、準同型定理により、

$$({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(10{\mbox{${... ...box{${\mathbb{Z}}$}}) \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

が結論される。

例 7.2   環としての同型 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X] \cong {\mathbb{C}}$ が 存在する。 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ から ${\mathbb{C}}$ への写像 $f$ を、

$$f(p)=p(\sqrt{-1})$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は写像としてうまく定義されている。
2. $f$ は環の準同型である。
3. $f$ の像は ${\mathbb{C}}$ 全体である。
4. $f$ の核は $(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ である。

よって、準同型定理により、

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+1)$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \cong {\mathbb{C}}$$

が結論される。

例 7.3 (準同型定理の応用例１)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ への写像 $f$ を、

$$f(p)=p(\sqrt{14})$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は写像としてうまく定義されている。 すなわち、$f$ の像は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ からはみ出さない。
2. $f$ は環の準同型である。
3. $f$ の像は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ 全体である。
4. $f$ の核は $(X^2-14){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ である。

よって、準同型定理により、

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-14){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$$

が結論される。

例 7.4 (準同型定理の応用例２)   $A\in M_2({\mathbb{C}})$ を、

$$A= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &7 \end{pmatrix}$$

で定め、 ${\mathbb{C}}[X]$ から $M_2({\mathbb{C}})$ への写像 $f$ を、

$$f(p)=p(A)$$

で定めると、次のことが分かる。

1. $f$ は環の準同型である。
2. $f$ の像は
   $${\mathbb{C}}[A]= {\mathbb{C}}A+{\mathbb{C}}E= \{k A+ lE ; k,l \in... ...in{pmatrix} k+l &3k \\ 5k &7k+l \end{pmatrix}; k,l \in {\mathbb{C}} \right \}$$
   である。
3. $f$ の核は $(X^2-8 X-8){\mathbb{C}}[X]$ である。

よって、準同型定理により、

$${\mathbb{C}}[X]/(X^2-8X-8){\mathbb{C}}[X] \cong {\mathbb{C}}[ A](={\mathbb{C}}A +{\mathbb{C}}E)$$

が結論される。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

1. $$\phi:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+2 X+1)$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \to {\mathbb{C}}$$
   を $\phi(p(X))=p(-1)$ で定義すると、 これはうまく定義されていることを示しなさい。

2. $$\psi:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+2 X+1)$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \to {\mathbb{C}}$$
   を $\phi(p(X))=p(1)$ で定義しようとすると、 これはうまく定義されていないことを示しなさい。

(II).

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+2 X+2 )$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \cong {\mathbb{C}}$$

を示しなさい。