代数学 I No.9要約

生成するイデアル, 多項式環の性質

補題 9.1   可換環 $R$ と、$R$ の部分集合 $S$ について、 $S$ を含む $R$ のイデアルのうち最小のものが存在する。

定義 9.1   可換環 $R$ と、$R$ の部分集合 $S$ について、 $S$ を含む $R$ のイデアルのうち最小のものを、$S$ で生成される $R$ のイデアル といい、$(S)$ と表す。

丸括弧は、区切りを表す以外には 何の付加的な意味を持たないのが普通であるが、この用法は例外である。

補題 9.2   可換環 $R$ の有限部分集合 $T=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ に対して、

$$(T)=R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$$

が成り立つ。 $(T)=(\{a_1,a_2,\dots,a_n\})$ のことを普通 $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ と書く。

( $R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$ とは

$$\{\sum_{j=1}^n c_j a_j ; c_j \in R\}$$

の略記であることに注意しよう。)

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補題 9.3  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から環 $R$ への準同型は必ず唯一つだけ存在する。
2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から環 $R$ への準同型は、存在すれば唯一つである。
3. 正の整数 $n$ が与えられた時、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から環 $R$ への環準同型は、 存在すれば唯一つである。

補題 9.4 (多項式環の普遍性)   可換環 $R$ から $S$ への環準同型 $\iota$ が与えられているとする。 このとき、

1. $S$ の元 $c$ を与えると、 $R[X]$ から $S$ への環準同型 $f_c$ が、
   $$f_c(p)=p(c) \qquad(\forall p\in R[X])$$
   すなわち、
   $$f_c\left(\sum_{j=0}^k a_j X^j\right)=\sum_{j=0}^k \iota(a_j) c^j$$
   で定まり、 $f_c\vert _R=\iota$ が成り立つ。
2. $R[X]$ から $S$ への環準同型 $f$ で、 $f\vert _R=\iota$ をみたすものが あれば、ある $c\in S$ が存在して、
   $$f(p)=p(c) \qquad(\forall p\in R[X])$$
   が成り立つ。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})[X]$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は何個有るか。
2. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})[X]$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は何個有るか。