代数学 I NO.10 要約

今日のテーマ《ユークリッド環は単項イデアル環であること》前々回、次の定理およびその周辺が残っていたので、今回はその解

説である。

定理 10.1. ユークリッド環は単項イデアル環である。

次回の準備のために、次のことも証明しておこう。

補題 10.1. 単項イデアル環 R のイデアルの増大列

I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ I_{4} ⊂ …

は必ずどこかで止まる。すなわちある N があって、

I_{N} = I_{N+1} = I_{N+2} = …

がなりたつ。

注意:

ℤ のイデアルの\underline{減少列}

I_{1} ⊋ I_{2} ⊋ I_{3} ⊋ I_{4} ⊋ …

の例ならたくさんある。例えば

(2) ⊋ (2^{2}) ⊋ (2^{3}) ⊋ …

や

(2) ⊋ (3!) ⊋ (4!) ⊋ …

等など。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) ℚ[X] の元

f(X) = X^{4} + 4X^{3} + 7X^{2} + 2X − 5,
g(X) = X^{5} + X^{4} − 2X + 1,
h(X) = X^{5} + 3X^{4} + 6X^{3} + 2X^{2} + 2X − 5,

に対して、イデアル

(f, g, h)

を簡単な形に直しなさい。 (理由も述べること。 )