代数学 I No.10要約

《ユークリッド環は単項イデアル環であること》

前々回、次の定理およびその周辺が 残っていたので、今回はその解説である。

定理 10.1   ユークリッド環は単項イデアル環である。

次回の準備のために、次のことも証明しておこう。

補題 10.1   単項イデアル環 $R$ のイデアルの増大列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ずどこかで止まる。すなわちある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

がなりたつ。

注意:

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルの減少列

$$I_1 \supsetneq I_2 \supsetneq I_3 \supsetneq I_4 \supsetneq \dots$$

の例ならたくさんある。例えば

$$(2)\supsetneq (2^2) \supsetneq (2^3) \supsetneq\dots$$

や

$$(2)\supsetneq (3!) \supsetneq (4!) \supsetneq\dots$$

等など。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元

$$f(X)=X^4+4 X^3+7 X^2+2 X-5,$$

$$g(X)=X^5+X^4-2 X+1,$$

$$h(X)=X^5+3 X^4+6 X^3+2 X^2 +2 X-5,$$

に対して、

イデアル

$$(f,g,h)$$

を簡単な形に直しなさい。(理由も述べること。)