代数学 I NO.12 要約

復習今日は先週の残りの証明を行なう。ついでに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

No.10 の問題 (I) の解答。問題の f, g, h にたいして、 k[X] のイデアル (f, g, h) を I とおく。 (じつは、

f = (X^{2} + 3 X + 5) · (X^{2} + X − 1)
g = (X^{2} + X − 1) · (X^{3} + X − 1)
h = (X^{2} + 3 X + 5) · (X^{3} + X − 1)

であって、これに気づくと以降の話がずいぶんと楽に進む。 ) f, g についてユークリッドの互除法を行なうと、

l(X) = X^{2}+X −1 = \frac{1}{111}((5X^{2}−14X +22)f(X)+(−5X −1)g(X)) ∈ I

を得る。次に l, h についてユークリッドの互除法を行なう。

1 = \frac{1}{10}((4 X^{4} +15 X^{3} +34 X^{2} +31 X +25)l(X)+(−4 X −7)h(X)) ∈ I.

このことから、 I = k[X] がわかる。

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問題 12.1. (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) (i) 多項式 f, g, h ∈ ℚ[X] を

f(X) = (X − 2)(X − 3)(X − 10),
g(X) = (X − 1)^{2}(X − 3)^{2}(X − 10),
h(X) = (X − 1)^{2}(X − 2)(X − 10).

で定める。このとき、 [Case 1] p(X) = 1 [Case 2] p(X) = (X − 10) [Case 3] p(X) = (X + 1)(X − 10) のそれぞれの場合について、

af + bg + ch = p

を満たす多項式 a, b, c ∈ ℚ[X] は存在するだろうか。存在するならばそのような a, b, c の例を挙げ、存在しないならばその理由を述べよ。

(ii) ℚ[X] のイデアル (f, g, h) を簡単にせよ。