代数学 I No.12要約

今日は先週の残りの証明を行なう。

ついでに &dotfill#dotfill;

No.10 の問題 (I) の解答。 問題の $f,g,h$ にたいして、 $k[X]$ のイデアル $(f,g,h)$ を $I$ とおく。 (じつは、

$$f=\left(X^2 + 3 X + 5\right)\cdot \left(X^2 + X - 1\right)$$

$$g= \left(X^2 + X - 1\right)\cdot \left(X^3 + X - 1\right)$$

$$h= \left(X^2 + 3 X + 5\right)\cdot \left(X^3 + X - 1\right)$$

であって、これに気づくと以降の話がずいぶんと楽に進む。)

$f,g$ についてユークリッドの互除法を行なうと、

$$l(X)=X^2 + X - 1=\frac{1}{111}((5 X^2 - 14 X + 22)f(X) + (-5 X-1) g(X)) \in I$$

を得る。次に $l,h$ についてユークリッドの互除法を行なう。

$$1=\frac{1}{10}((4 X^4 + 15 X^3 + 34 X^2 + 31 X + 25) l(X) +( - 4 X - 7) h(X))\in I.$$

このことから、$I=k[X]$ がわかる。

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問題 12.1  

(期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

((i))

多項式 $f,g,h\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ を

$$f(X)=(X-2)(X-3)(X-10),$$

$$g(X)=(X-1)^2(X-3)^2(X-10),$$

$$h(X)=(X-1)^2 (X-2)(X-10).$$

で定める。このとき、

[Case 1].

$p(X)=1$

[Case 2].

$p(X)=(X-10)$

[Case 3].

$p(X)=(X+1)(X-10)$

のそれぞれの場合について、

$$a f +b g +c h=p$$

を満たす多項式 $a,b,c\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ は存在するだろうか。存在するならばそのような $a,b,c$ の例を挙げ、 存在しないならばその理由を述べよ。

((ii))

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ のイデアル $(f,g,h)$ を簡単にせよ。