代数学 I NO.14 要約

問題 14.1. 環準同型

φ : ℤ[X] → ℤ/10ℤ × ℤ/12ℤ

で、 φ(X) = ([3]_{10}, [4]_{12}) を満たすものについて考えたい。

(1) そのようなものがあったとして、 (a) φ(X^{3} + 5X + 6) はいくらになるべきだろうか。

(b) φ(f(X)) = ([f(3)]_{10}, [f(4)]_{12}) であることを示しなさい。 (2) 上の条件を満たす環準同型 φ が存在することを示しなさい。

問題 14.2. 環準同型

ψ : ℤ ∋ n ↦ ([n]_{10}, [n]_{12}) ∈ ℤ/10ℤ × ℤ/12ℤ

を考える。 (1) Ker(ψ) を求めよ。

(2) 環の準同型定理により ψ から導かれる単射準同形写像はどんなものか？

(3) ψ は全射といえるか？