代数学 I No.14要約

問題 14.1   環準同型

$$\varphi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

で、 $\varphi(X)=([3]_{10},[4]_{12})$ を満たすものについて 考えたい。

1. そのようなものがあったとして、
   1. $\varphi(X^3+5 X+6)$ はいくらになるべきだろうか。
   2. $\varphi(f(X))=([f(3)]_{10}, [f(4)]_{12})$ であることを示しなさい。
2. 上の条件を満たす環準同型 $\varphi$ が存在することを示しなさい。

問題 14.2   環準同型

$$\psi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n\mapsto ([n]_{10},[n]_{12})\in {... ...\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

を考える。

1. $\operatorname{Ker}(\psi)$ を求めよ。
2. 環の準同型定理により $\psi$ から導かれる単射準同形写像は どんなものか？
3. $\psi$ は全射といえるか？