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documentclass[12pt]amsart usepackageeucal,amssymb par newedtheoremtheorem定理[section]newedtheoremnitheoremあまり重要でない定理[section]renewedcommandthenitheorem newedtheoremrefpropPropositionrenewedcommandtherefprop newedtheoremcor系[section]newedtheoremlemma補題[section]newedtheoremfact事実[section]newedtheoremproposition[theorem]命題newedtheoremaxAxiompar theoremstyledefinition newedtheoremdfn定義[section] newedtheoremexmp例[section] newedtheoremexample例[section]newedtheoremdefinition定義[section] newedtheoremq問題[section] newedtheoremexq例題[section] newedtheoremkeywd数学のキーワードpar theoremstyleremark newedtheoremrem注意[section]newedtheoremclaim[]renewedcommandtheclaim par numberwithinequationsection par newedcommandtheoremref[1]Theorem ref#1 newedcommandsecref[1]Sref#1 newedcommandlemref[1]Lemma ref#1 par newedcommandZmbox $ {mathbb {Z}}$ newedcommandQmbox $ {mathbb {Q}}$ newedcommandRmbox $ {mathbb {R}}$ newedcommandNmbox $ {mathbb {N}}$ newedcommandImbox $ {sqrt {-1}}$ par newedcommandLeg[2]mbox $ left(dfrac{ ... newedcommandFpmbox $ {mathbb F}_p$ newedcommandkpekembox$ k^times$ newedcommandbigzerolsmashhboxhuge 0 newedcommandbigzerousmashlower1.7exhboxhuge 0 par setlengthtopmargin-1.5cm setlengthtextheight26cm begindocument renewedcommandthepage title[代数学 I No.thistime ]代数学 I No.thistime 試験問題 quad vskip-3pc maketitle par setcountersectionthistime par noindent par newedcommandmymondaiI 環準同型

$\displaystyle varphi:Q [X] to Q times Q times Q
$

で、 $ varphi(X)=(1,2,3)$ を満たすものについて 考えたい。 そのようなものがあったとして、 beginenumerate item $ varphi(frac{1}{6})$ はいくらになるべきだろうか。 item $ varphi(X^4)$ はいくらになるべきだろうか。 item $ p(X)in Q [X]$ にたいして、 $ varphi(p)$ を求めなさい。 endenumerate par par newedcommandmymondaiII begintheorem_type[q][q][section][definition][][] $ Q $ から $ Z /7Z $ への環準同型は存在するだろうか。endtheorem_type par newedcommandmymondaiIII begintheorem_type[q][q][section][definition][][] 環準同型

$\displaystyle psi:Z ni nmapsto ([n]_{3},[n]_{5},[n]_{7})in
Z /3Z times Z /5Z
times Z /7Z
$

を考える。 (ただし、$ [n]_{m}$ は 整数 $ n$$ Z /mZ $ における クラスをあらわす。) par beginenumerate item $ Ker (psi)$ を求めよ。 item 環の準同型定理により $ psi$ から導かれる単射準同形写像は どんなものか?(この小問に限り説明不要。) item $ 3$$ 5cdot 7$ とでユークリッドの互除法を行ない、 $ psi(x)=([1]_3,[0]_5,[0]_7)$ をみたす $ xin Z $ を一つ求めなさい。 item $ psi(x)=([1]_3,[2]_5,[3]_7)$ をみたす $ xin Z $ を一つ求めなさい。 item $ 3$ で割ると $ 1$ あまり、 $ 5$ で割ると $ 2$ あまり、 $ 7$ で割ると $ 3$ 余るような正の整数の例を3つ挙げなさい。 endenumerate parendtheorem_type par 注意: beginitemize item 持ち込みはなんでも可である。但し通信機能を持つものや、 他人の迷惑になるものを除く。 item 解答用紙右上には忘れずに学籍番号と名前を書くこと。 item いずれの問題でも、十分な説明(理由)が書いていない解答については たとえ正解であってもほとんど評価しない。 enditemize par begintheorem_type[q][q][section][definition][][] mymondaiIendtheorem_type mymondaiII mymondaiIII par pagebreak setcounterq0 begintheorem_type[q][q][section][definition][][] mymondaiIendtheorem_type par noindent 解答: par noindent(1): beginalign* 6varphi(frac16) &= varphi(frac16) +varphi(frac16) +varphi(frac16) +varphi(frac16) +varphi(frac16) +varphi(frac16)
&=varphi( frac16 +frac16 +frac16 +frac16 +frac16 +frac16 ) =varphi(1)=(1,1,1) endalign* ゆえに、

$\displaystyle varphi(frac{1}{6})=
(
frac{1}{6},
frac{1}{6},
frac{1}{6})
$

par noindent(2):

$\displaystyle varphi(X^4)=varphi(X)^4=(1^4,2^4,3^4)=(1,16,81).
$

par noindent(3) (1) と同様にして、

$\displaystyle varphi(a)=(a,a,a) qquad (forall a in Q )
$

がわかる。

$\displaystyle p(X)=sum_j p_j X^j qquad (p_jin Q )
$

と書くと beginalign* varphi(p)&=varphi(sum_j p_j X^j)
&=sum_j varphi(p_j) varphi(X)^j
&=sum_j (p_j,p_j,p_j)cdot (1,2,3)^j
&=(sum_j p_j 1^j , sum_j p_j 2^j, sum_j p_j 3^j)
&=(p(1),p(2),p(3)) endalign* つまり

$\displaystyle varphi(p)=(p(1),p(2),p(3)).
$

par pagebreak mymondaiII par noindent 解答:存在しない。 par noindent 理由: もしそのようなもの $ phi$ があったとすると、

$\displaystyle [1]_7=phi(1)
=phi(frac{1}{7})phi(7)=phi(frac{1}{7})[7]_7=phi(frac{1}{7})[0]_7=[0]_7
$

となって矛盾するから。 par mymondaiIII par noindent(解答): par noindent(1): beginalign* Ker (psi) &=psi^-1([0 ]_3,[0]_5,[0]_7)
&={nin Z ; [n]_3=[0]_3 text かつ [n]_5=[0]_5 text かつ [n]_7=[0]_7 }
&= { nin Z ; nin 3Z text かつ nin 5Z text かつ nin 7Z }
&=3cdot 5cdot 7Z = 105Z endalign* par noindent(2):

$\displaystyle overline{psi}:
Z /105Z to Z /3Z times Z /5Z times Z /7Z ,
$

$\displaystyle psi([n]_{105})=([n]_3,[n]_5,[n]_7)
$

noindent(3):

$\displaystyle 12times 3+(-1)times 35=1
$

を利用する。

$\displaystyle psi(-35)=([1]_3,[0]_5,[0]_7)
$

より $ x=-35$ は求めるものの一つである。 par noindent(4): 5 と $ 3cdot 7=21$ とで互除法を行ない、

$\displaystyle (-4)*5+1*21=1
$

を得る。上と同様にして beginalign* psi(-35)&=([1]_3,[0]_5,[0]_7)
psi(21)&=([0]_3,[1]_5,[0]_7)
psi(15)&=([0]_3,[0]_5,[1]_7)
endalign* をえる。(最後の式は $ psi(1)=([1]_3,[1]_5,[1]_7)$ と上二式から得られる。) par beginalign* &([1]_3,[2]_5,[3]_7)
=& 1([1]_3,[0]_5,[0]_7) +2([0]_3,[1]_5,[0]_7) +3([0]_3,[0]_5,[1]_7)
=&psi(-35) +2 psi(21)+3psi(15)
=&psi(-35+42+45)=psi(52) endalign* par ゆえに $ x=52$ は一つの例である。 par noindent(5): par

$\displaystyle 52,52+105(=157), 52+105*100(=10552)
$

など。 par enddocument


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2008-01-29