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代数学演習 I 問題 No.2

\fbox{環と体の定義とその周辺編(2)}

注意 これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、 単位元を持つ環と解釈していただきたい。(単位元の存在がとくに重要な時には、 一応ことわる。)ただし、積が可換であるとはまだ仮定しない。

問題 2.1   % latex2html id marker 1223
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\mbox{${\sqrt {-1}}$}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{a+b\mbox{${\sqrt {-1}}$};a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は環となることを示しなさい。( % latex2html id marker 1225
$ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$ は虚数単位をあらわす記号です。)

問題 2.2   単位元 $ 1$ を持つ環 $ R$ の元 $ x,y,z$ にたいして、

  $\displaystyle xy=1$   (すなわち $ y$$ x$ の右逆元である。)    
  $\displaystyle zx=1$   (すなわち $ z$$ x$ の左逆元である。)    

が成り立つとき、$ z=y$ であって、

$\displaystyle xy=yx=1$   (すなわち $y(=z)$ は $x$ の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.1   単位元の存在する環 $ R$ において、逆元が存在するような元のことを、$ R$ の可逆元とか、単元、あるいは単数といいます。

問題 2.3   $ R$ を単位元の存在する環とします。 $ R$ の可逆元全体 $ R^{\times}$ は群をなすことを示しなさい。

定義 2.2   前問の $ R^{\times}$ のことを $ R$ の単数群といいます。

問題 2.4   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の単数群を求めなさい。

問題 2.5   % latex2html id marker 1293
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ の単数群を求めなさい。

問題 2.6   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ +$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1303
$ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ =\{a+b$% latex2html id marker 1305
$ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ ;a,b\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ \}$ は体となることを示しなさい。

定義 2.3 (部分環の定義)   $ R$ が単位元をもつ環であるとする。$ R$ の部分集合 $ S$$ R$ の部分環であるとは、$ S$ が次の条件を満たす時にいう。
  1. $ S$$ R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
  2. $ S$$ R$ の単位元を元として持つ。

上の条件のうち、(1)が本質的部分であり、(2) は冒頭で述べた注意に沿うための 技術的条件である。ただし、(2)をぬかしてしまうと理論は見かけ上かなり違った 形になるので単位元のない環を扱う時(がもしあればその時)には注意が必要である。

問題 2.7   次のものは複素数全体のなす環 $ {\mathbb{C}}$ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。
  1. 整数全体の集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  2. 有理数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
  3. % latex2html id marker 1344
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
  4. 複素数を成分にもつ二次行列全体の集合 $ M_2({\mathbb{C}})$ .

問題 2.8 (Web版のみ)   $ {\mathbb{C}}$ の部分環 $ S$ が、 % latex2html id marker 1357
$ 1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として持っているとします。 この時、 % latex2html id marker 1359
$ 2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$$ S$ の元であることを示しなさい。

定義 2.4   単位元をもつ可換環 $ R$

$\displaystyle ab=0 (a,b\in R) \implies a=0$    or $\displaystyle b=0
$

を満たす時、$ R$ を整域とよぶ

問題 2.9   $ M_2({\mathbb{C}})$ の部分集合

$\displaystyle \left\{
\begin{pmatrix}
k+2l &0\\
0 &k+3l
\end{pmatrix}; k,l\in {\mathbb{C}}
\right\}
$

は加法、減法、乗法について閉じていることを示し、 これが単位元をもつ可換環であることを言いなさい。 さらに、この環は整域ではないことを示しなさい。

問題 2.10   $ R$ が可換環 $ S$ の部分環であるとき、$ R$ も可換環になり、さらに $ S$ が整域であれば $ R$ も整域であることを示しなさい。

問題 2.11   実数を成分に持つ $ n$ -次正方行列のなす集合 $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ は通常の算法によって環になることを定義に沿って説明しなさい。

問題 2.12   $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ の元 $ A$ が零因子である必要十分条件は $ \operatorname{det}(A)=0$ であることを示しなさい。

問題 2.13   環 $ R$ の元 $ c$ がある正整数 $ n$ により $ c^n=0$ となるとき、$ c$ を巾零元と言います。 $ R$ が単位元 $ 1$ を持ち、$ c$$ R$ の巾零元ならば、 $ 1-c$$ R$ の単元となることを示しなさい。

問題 2.14   有限個の元しか持たない整域は、体となることを示しなさい。

問題 2.15   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような $ {\mathbb{C}}$ の部分環 $ R$ (つまり、 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ \subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) が % latex2html id marker 1469
$ \sqrt{2}+\sqrt{3}$ を元として含むとき、 % latex2html id marker 1471
$ \sqrt{2},\sqrt{3}$$ R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.16   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような $ {\mathbb{C}}$ の部分環 $ R$ % latex2html id marker 1486
$ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を元として含むとき、 % latex2html id marker 1488
$ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$$ R$ の元であることを示しなさい。

問題 2.17   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような $ {\mathbb{C}}$ の部分環 $ R$ について、次の二つの条件は同値であることを 示しなさい。
  1. % latex2html id marker 1503
$ \sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$ .
  2. % latex2html id marker 1505
$ \sqrt{3}\in R$ かつ % latex2html id marker 1507
$ \sqrt{7}\in R$ .

問題 2.18   前問で、$ R$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含む、という条件を 外しても同様のことが言えるだろうか。 正しいなら証明し、間違っているなら反例を あげなさい。

問題 2.19   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような $ {\mathbb{C}}$ の部分環 $ R$ で、 体でないようなものは存在するだろうか。 (難問である。この問題については大枠が示せれば良い。)

問題 2.20  
  1. % latex2html id marker 1534
$ S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}...
...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\} $ $ {\mathbb{C}}$ の部分環だろうか?
  2. $ S$ を含む、 $ {\mathbb{C}}$ の部分環で、最小のもの(つまり、$ S$ で 生成される $ {\mathbb{C}}$ の部分環)はなにか?


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2007-10-19