代数学演習 I 問題 NO.3

イデアルの定義、剰余環編

定義 3.1. 環 R の部分集合が R のイデアルであるとは、 (1) I は (R, +) の部分加群である。

(2) r ∈ R, a ∈ I ⟹ ra ∈ I, ar ∈ I の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1. 環 R の部分集合 {0} は R のイデアルであることを示しなさい。 (通常 {0} を単に 0 であらわします。 )

問題 3.2. 環の間の準同型 f : R → S の核 Ker(f) は R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.3. I, J が環 R のイデアルならば、 I ∩ J も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4. I, J が環 R のイデアルならば、

I + J = {a + b; a ∈ I, b ∈ J}

も R のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.5. I, J が可換環 R のイデアルならば、

IJ = {∑_{i} a_{i}b_{i}(有限和); a_{i} ∈ I, b_{i} ∈ J} (注意)

も R のイデアルとなることを示しなさい。 (注意): IJ は「I, J の元同士の積の集合」ではない。

問題 3.6. 可換環 R の巾零元全体

P = {x ∈ R; x^{n} = 0(∃n ∈ ℤ_{>0})}

は R のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.2. 単位元を持つ可換環 R 上の一変数多項式とは、

a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + a_{n−2}X^{n−2} + ⋯ + a_{1}X + a_{0} (a_{n}, …, a_{0} ∈ R)

のように表されるもののことです。 R 上の一変数多項式の全体は環をなします。これを R 上の一変数多項式環と言って、 R[X] であらわします。以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 R は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.7. (単位元を持つ可換) 環 R 上の一変数多項式 f(X) と R の元 a について、 f(a) = 0 ならば、

f(X) = (X − a)g(X) g(X) ∈ R[X]

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.3. 前回定義するのを忘れましたが、環 R の元 a は、

ab = 0

なる b(≠ 0) ∈ R が存在するとき、左零因子と呼ばれます。右零因子も同様に定義されます。可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。問題 3.8. 整域 R 上の一変数多項式 f(X) は、 R に高々 d 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.9. 可換環 R 上の一変数多項式 f(X) の係数のうちに非零因子があれば、 f(X) は R[X] の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.10. 有理数体 ℚ 上の二変数多項式環 ℚ[X, Y] の次のイデアル I, J をなるべく簡単な生成元で表しなさい。

I = (X +Y (X +1), Y, X^{2}), J = (X +Y, X +Y^{2}, X +Y^{3}, X +Y^{4}, X +Y^{5})

問題 3.11. 閉区間 [0, 1] 上の連続関数全体のなす環 R = C([0, 1]) を考えます。次のものは R のイデアルになりますか？

(1) S_{1} = {f ∈ R; f(1/2) = 0}

(2) S_{2} = {f ∈ R; f(1/2) = 1}

(3) S_{3} = {f ∈ R; f(x) = 0 がすべての x ∈ [1/2, 1] について成り立つ} (4) S_{4} = {f ∈ R; f(x) = 1 がすべての x ∈ [1/2, 1] について成り立つ}

問題 3.12. 開区間 (0, 1) 上の連続関数全体のなす環 R = C(0, 1) の部分集合

S = {f ∈ R; lim_{x→0} f(x) = 0}

は R のイデアルになりますか？

問題 3.13. (1) 開区間 (0, 1) 上の連続関数全体のなす環 R = C(0, 1) の部分集合

S = {f ∈ R; f は (0, 1) で有界}

は R の部分環であることを示しなさい。

(2) S の部分集合

I = {f ∈ S; lim_{x→0} f(x) = 0}

は S のイデアルであることを示しなさい。

補題 3.1. R は単位元をもつ環であるとし、 I をそのイデアルとする。このとき、

(1) R に同値関係 ∼ が、次のようにして決まる。

a ∼ b ⇔ a − b ∈ I.

(2) R/ ∼ に、足し算を次のようにして入れる。

ā + b̄ = \overline{a + b} (¯? は ? の ∼ に関するクラスを表す。 )

この足し算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこの足し算について可換群になる。

(3) R/ ∼ に、かけ算を次のようにして入れる。

ā · b̄ = \overline{a · b}

このかけ算はうまく定義されていて、 R/ ∼ はこのかけ算について半群になる。

(4) R/ ∼ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。しかも、この環は単位元 ¯1 を持つ。

定義 3.4. 上の補題の仮定のもとで、 R/ ∼ に上のような足し算、かけ算を入れて環にしたものを R/I と書き、 R の I による剰余環と呼ぶ。問題 3.14 (この問題は全部といて一点). ℤ のイデアル I = 10ℤ について、 ℤ に上記補題のような同値関係をいれたとき、

(1) 1 と同値であるような ℤ の元を正、負ともに 2 個ずつあげなさい。それらを a_{1}, …, a_{4} とする。

(2) 3 と同値であるような ℤ の元を正、負ともに 2 個ずつあげなさい。それらを b_{1}, …, b_{4} とする。

(3) 上のようにして取った a_{i}, b_{j} の全ての組合せ (16 通り) について、

a_{i} + b_{j}

をもとめ、そのおのおのについて、それと同値になる ℤ の元を {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} のなかから一つ選びなさい。

問題 3.15 (この問題は全部といて一点). ℤ/10ℤ において、整数 ? のクラス (同値類) を [?]_{10} で表すことにする。このとき、

(1) [10]_{10} = [0]_{10} であることを証明しなさい。

(2) [2]_{10} ≠ [0]_{10} であることを証明しなさい。

(3) [5]_{10} ≠ [0]_{10} であることを証明しなさい。

(4) [2]_{10} × [5]_{10}, [3]_{10} × [7]_{10} をできるだけ簡単な形になおしなさい。

問題 3.16. ℤ/15ℤ のなかで、

x^{2} = 1

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.17. n = 3 × 5 × 7 × 11(= 1155) とする。 ℤ/nℤ のなかで、

x^{2} = 1

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.18.

1234567891234567

を 9 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。

問題 3.19.

1234567891234567

を 11 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。

問題 3.20.

1234567891234567

を 99 で割ったあまりはいくらだろうか？できるだけ簡潔な理由をつけて (計算機を用いることなく) 答えなさい。