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代数学演習 I 問題 No.3

\fbox{イデアルの定義、剰余環編}

定義 3.1   環 $ R$ の部分集合が $ R$ のイデアルであるとは、
  1. $ I$$ (R,+)$ の部分加群である。
  2. $ r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$
の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1   環 $ R$ の部分集合 $ \{0\}$$ R$ のイデアルであることを示しなさい。(通常 $ \{0\}$ を単に 0 であらわします。)

問題 3.2   環の間の準同型 $ f:R\to S$ の核 $ \operatorname{Ker}(f)$$ R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.3   $ I,J$ が環 $ R$ のイデアルならば、$ I\cap J$$ R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4   $ I,J$ が環 $ R$ のイデアルならば、

% latex2html id marker 1198
$\displaystyle I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}
$

$ R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.5   $ I,J$ が可換環 $ R$ のイデアルならば、

$\displaystyle IJ=\{\sum_i a_ib_i ($有限和$\displaystyle ); a_i\in I, b_i \in J \}$   (注意)

$ R$ のイデアルとなることを示しなさい。 (注意): $ I J$ は「$ I$ , $ J$ の元同士の積の集合」ではない。

問題 3.6   可換環 $ R$ の巾零元全体

$\displaystyle P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}
$

$ R$ のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.2   単位元を持つ可換環 $ R$ 上の一変数多項式とは、

% latex2html id marker 1240
$\displaystyle a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad
(a_n,\dots,a_0 \in R)
$

のように表されるもののことです。$ R$ 上の一変数多項式の全体は環をなします。 これを $ R$ 上の一変数多項式環と言って、$ R[X]$ であらわします。 以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 $ R$ は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.7 (単位元を持つ可換)   環 $ R$ 上の一変数多項式 $ f(X)$$ R$ の元 $ a$ について、$ f(a)=0$ ならば、

% latex2html id marker 1265
$\displaystyle f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]
$

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.3   前回定義するのを忘れましたが、環 $ R$ の元 $ a$ は、

$\displaystyle ab=0
$

なる % latex2html id marker 1278
$ b(\neq 0)\in R$ が存在するとき、左零因子と呼ばれます。右零因子も同様に定義されます。可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。 零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.8   整域 $ R$ 上の 一変数多項式 $ f(X)$ は、$ R$ に高々 $ d$ 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.9   可換環 $ R$ 上の一変数多項式 $ f(X)$ の係数のうちに非零因子があれば、$ f(X)$$ R[X]$ の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.10   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ の次のイデアル $ I,J$ をなるべく簡単な生成元で表しなさい。

$\displaystyle I=(X+Y(X+1),Y,X^2), J=(X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5)
$

問題 3.11   閉区間 $ [0,1]$ 上の連続関数全体のなす環 $ R=C([0,1])$ を考えます。次のものは $ R$ のイデアルになりますか?
  1. % latex2html id marker 1332
$ S_1=\{ f\in R; \quad f(1/2)=0 \}$
  2. % latex2html id marker 1334
$ S_2=\{ f\in R; \quad f(1/2)=1 \}$
  3. % latex2html id marker 1336
$ S_3=\{ f\in R; \quad f(x)=0$    がすべての $x&isin#in;[1/2,1]$ について成り立つ$ \}$
  4. % latex2html id marker 1339
$ S_4=\{ f\in R; \quad f(x)=1$    がすべての $x&isin#in;[1/2,1]$ について成り立つ$ \}$

問題 3.12   開区間 $ (0,1)$ 上の 連続関数全体のなす環 $ R=C(0,1)$ の部分集合

$\displaystyle S=\{f\in R; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}
$

$ R$ のイデアルになりますか?

問題 3.13  
  1. 開区間 $ (0,1)$ 上の 連続関数全体のなす環 $ R=C(0,1)$ の部分集合

    $\displaystyle S=\{f\in R;$   $f$ は $(0,1)$ で有界$\displaystyle \}
$

    $ R$ の部分環であることを示しなさい。
  2. $ S$ の部分集合

    $\displaystyle I=\{f\in S; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}
$

    $ S$ のイデアルであることを示しなさい。

補題 3.1   $ R$ は単位元をもつ環であるとし、$ I$ をそのイデアルとする。 このとき、
  1. $ R$ に同値関係 $ \sim$ が、次のようにして決まる。

    $\displaystyle a\sim b  {\Leftrightarrow} a-b \in I.
$

  2. $ R/\sim$ に、足し算を次のようにして入れる。

    % latex2html id marker 1392
$\displaystyle \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$?$ は $?$ の $&sim#sim;$ に関する クラスを表す。$\displaystyle )
$

    この足し算はうまく定義されていて、$ R/\sim$ はこの足し算について可換群になる。
  3. $ R/\sim$ に、かけ算を次のようにして入れる。

    $\displaystyle \bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}
$

    このかけ算はうまく定義されていて、$ R/\sim$ はこのかけ算について半群になる。
  4. $ R/\sim$ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなす。 しかも、この環は単位元 $ \bar{1}$ を持つ。

定義 3.4   上の補題の仮定のもとで、 $ R/\sim$ に上のような足し算、かけ算を入れて 環にしたものを $ R/I$ と書き、$ R$$ I$ による剰余環と呼ぶ。

問題 3.14 (この問題は全部といて一点)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $ I=10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ について、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に上記補題のような同値関係をいれたとき、
  1. $ 1$ と同値であるような $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげなさい。 それらを $ a_1,\dots,a_4$ とする。
  2. $ 3$ と同値であるような $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげなさい。 それらを $ b_1,\dots,b_4$ とする。
  3. 上のようにして取った $ a_i,b_j$ の全ての組合せ(16通り) について、

    $\displaystyle a_i+b_j
$

    をもとめ、そのおのおのについて、 それと同値になる $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ のなかから一つ選びなさい。

問題 3.15 (この問題は全部といて一点)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、整数 $ ?$ のクラス(同値類)を $ [?]_{10}$ で表すことにする。 このとき、
  1. $ [10]_{10}=[0]_{10}$ であることを証明しなさい。
  2. % latex2html id marker 1464
$ [2]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
  3. % latex2html id marker 1466
$ [5]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
  4. $ [2]_{10}\times [5]_{10}$ , $ [3]_{10}\times [7]_{10}$ をできるだけ簡単な形に なおしなさい。

問題 3.16   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のなかで、

$\displaystyle x^2=1
$

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.17   $ n=3\times 5\times 7\times 11(=1155)$ とする。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のなかで、

$\displaystyle x^2=1
$

を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 3.18  

$\displaystyle 1234567891234567
$

$ 9$ で割ったあまりはいくらだろうか? できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 3.19  

$\displaystyle 1234567891234567
$

$ 11$ で割ったあまりはいくらだろうか? できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 3.20  

$\displaystyle 1234567891234567
$

$ 99$ で割ったあまりはいくらだろうか? できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。


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2007-11-13