代数学演習 I 問題 NO.4

《イデアルの生成元》編

定義 4.1. R を環、 I をそのイデアル、 S を R の部分集合とします。 I が S で (イデアルとして) 生成されるとは、次の二条件を満たすときに言います。

(1) I は S を部分集合として含む。

(2) I は、 S を部分集合として含むイデアルの中で最小のものである。すなわち、 S を含む R の任意のイデアル J に対し、 I ⊂ J が成り立つ。

S が有限集合 S = {x_{1}, …, x_{n}} のとき、 S で生成されるイデアルを普通 (x_{1}, …, x_{n}) と丸括弧を用いて書きます。

例題 4.1. {9, 12} で生成される ℤ のイデアル I = (9, 12) を求めよ。

解答 I は引き算について閉じているから、

I ∋ 12 − 9 = 3.

さらに、 I は ℤ による掛け算により閉じているから、

3ℤ ⊂ I.

ところが、 3ℤ は {9, 12} を含む ℤ のイデアルであるから、 I の最小性により、

I ⊂ 3ℤ

以上により、 I = 3ℤ が分かった。 (I = (3) と書いても良い。次の問題も参照)

問題 4.1. R を環、 S をその部分集合とします。この時 S で生成される R のイデアル I がただひとつ存在することを次の順序で示しなさい。

(1) (一意性) I, J がともに S で生成される R のイデアル (すなわち定義 4.1 の (1),(2) を満たす) ならば、 I, J 両方の最小性を用いて、 I = J が分かる。

(2) (存在 I) S を含む R のイデアルは一つは必ず存在することを示しなさい。

(3) (存在 II) S を含む R のイデアルの全体を {I_{λ}}_{λ∈Λ} とすると、それらすべての共通部分

I_{0} = ∩_{λ∈Λ}I_{λ}

も R のイデアルで、かつ S を含むことを示しなさい。

(4) (存在 III) 上の I_{0} が S を含む最小のイデアルであることを示しなさい。

問題 4.2. 次の ℤ のイデアルを簡単な形になおしなさい。 (各 1 点) (1) I_{1} = (4, 6)

(2) I_{2} = (12, 18, 30)

(3) I_{3} = (78, 54, 62)

問題 4.3. 次の ℂ[X] のイデアルを簡単な形になおしなさい。 (各 1 点) (1) I_{1} = (X^{3}, X^{2})

(2) I_{2} = (X^{3} − 1, X^{2} − 1)

(3) I_{3} = (X(X − 1), (X + 1)(X − 1), X(X + 1))