代数学演習 I 問題 NO.5

イデアルの例とイデアルによる剰余環 (2), 行列算編

問題 5.1. I を ℤ のイデアルとします。この時、

(1) a, b が I の元で、 a が正の数ならば、 b を a で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

(2) I = 0 のときを除くと、 I の元の中で正で最小のものが存在します。これを a_{0} とおくと、 I の任意の元は a_{0} で割り切れることを示しなさい。

(3) I = a_{0}ℤ を示しなさい。

問題 5.2. I を ℂ[X] のイデアルとします。この時、

(1) f, g が I の元で、 f が 0 でないならば、 g を f で割った余り r も I の元であることを示しなさい。

(2) I = 0 のときを除くと、 I の元の中で次数が最小のものが存在します。これを f_{0} とおくと、 I の任意の元は f_{0} で割り切れることを示しなさい。

(3) I = f_{0}ℂ[X] を示しなさい。

問題 5.3. (1) (ℤ, +) の部分群は全て ℤ のイデアルであることを示

しなさい。

(2) (ℤ, +) の部分群をすべて求めなさい。

(3) (ℂ[X], +) の部分群で、 ℂ[X] のイデアルではないものの例を挙げなさい。

問題 5.4. ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (1 の三乗根) とします。この時、

ℤ + ℤω + ℤω^{2} = {a + bω + cω^{2}; a, b, c ∈ ℤ}

は ℂ の部分環であることを示しなさい。 (記法に関する注意) この環は、 ℤ に、 ω を付け加えた環になっている。そこで、この環のことを、 ℤ[ω] とかく。

問題 5.5. (1) ℤ[ω] (前問参照) の単数群を求めなさい。 (2) ℤ[\sqrt{3}] = ℤ + ℤ\sqrt{3} の単数群を求めなさい。

問題 5.6. a を複素数とします。このとき、

(1) 一変数多項式 f(X) を X − a で割ったときの余りは f(a) であることを示しなさい。

(2) ℂ[X]/(X − a)ℂ[X] のすべての元は、ある複素数 c (の同値類) と等しいことを示しなさい。

環 R に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、通常の意味の和、差、積が (サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま正しい。

M_{n}(R) = {R の元を成分にもつ n × n 行列}

とおくと、これは (可換ではない) 環である。その単位元は 1_{n} (n 次の単位行列).

問題 5.7. ℤ/15ℤ の元を成分にもつ行列の積

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14 以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。

問題 5.8. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.9. ℤ/14ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.10. ℤ/16ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。

(今回の以下の問題では行列式やトレースの性質を自由に用いて良い。 )

問題 5.11. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列は存在するだろうか。理由を挙げて答えなさい。 (ヒント:A の逆行列 B があったとする。 AB = 1_{3} (3 次の単位行列). 両辺の行列式をとると...)

問題 5.12. どんな整数 n に対しても、

AB − BA = 1_{n}

をみたす行列 A, B ∈ M_{n}(ℂ) は存在しないことを示しなさい。 (ヒント: トレース)

問題 5.13. 素数 p について、 A, B ∈ M_{p}(𝔽_{p}) で、

AB − BA = 1_{p}

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。 p = 3, 5 のときにまず試してみると良いかも知れない。 )