代数学演習 I 問題 No.5

問題 5.1   $I$ を ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルとします。この時、

1. $a,b$ が $I$ の元で、$a$ が正の数ならば、$b$ を $a$ で割った余り $r$ も $I$ の元であることを示しなさい。
2. $I=0$ のときを除くと、$I$ の元の中で正で最小のものが存在します。これを $a_0$ とおくと、$I$ の任意の元は $a_0$ で割り切れることを示しなさい。
3. $I=a_0 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を示しなさい。

問題 5.2   $I$ を ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルとします。この時、

1. $f,g$ が $I$ の元で、$f$ が 0 でないならば、$g$ を $f$ で割った余り $r$ も $I$ の元であることを示しなさい。
2. $I=0$ のときを除くと、$I$ の元の中で次数が最小のものが存在します。これを $f_0$ とおくと、$I$ の任意の元は $f_0$ で割り切れることを示しなさい。
3. $I=f_0 {\mathbb{C}}[X]$ を示しなさい。

問題 5.3  

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群は全て ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであることを示しなさい。
2. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群をすべて求めなさい。
3. $({\mathbb{C}}[X],+)$ の部分群で、 ${\mathbb{C}}[X]$ のイデアルではないものの例を挙げなさい。

問題 5.4   $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($1$ の三乗根)とします。この時、

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\ma... ...Z}}$}}\omega^2=\{a+b\omega+c\omega^2;\quad a,b,c \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

は ${\mathbb{C}}$ の部分環であることを示しなさい。 (記法に関する注意) この環は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に、$\omega$ を付け加えた環になっている。 そこで、この環のことを、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ とかく。

問題 5.5  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ (前問参照) の単数群を求めなさい。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{3}]={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{3}$ の単数群を求めなさい。

問題 5.6   $a$ を複素数とします。このとき、

1. 一変数多項式 $f(X)$ を $X-a$ で割ったときの余りは $f(a)$ であることを示しなさい。
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X-a){\mathbb{C}}[X]$ のすべての元は、ある複素数 $c$ (の同値類)と等しいことを示しなさい。

環 $R$ に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、 通常の意味の和、差、積が(サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま 正しい。

$$M_n(R)=\{$$$R$ の元を成分にもつ $n×n$ 行列$$\}$$

とおくと、これは(可換ではない)環である。 その単位元は $1_n$ ($n$ 次の単位行列).

問題 5.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を成分にもつ行列の積

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。

問題 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.9   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

問題 5.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列を計算しなさい。

(今回の以下の問題では行列式やトレースの性質を自由に用いて良い。)

問題 5.11   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を要素にもつ行列

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

の逆行列は存在するだろうか。 理由を挙げて答えなさい。 (ヒント:$A$ の逆行列 $B$ があったとする。$AB=1_3$ (3次の単位行列). 両辺の 行列式をとると...)

問題 5.12   どんな整数 $n$ に対しても、

$$AB-BA=1_n$$

をみたす行列 $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ は存在しないことを示しなさい。 (ヒント:トレース)

問題 5.13   素数 $p$ について、 $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ で、

$$AB-BA=1_p$$

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。$p=3,5$ のときにまず試してみると良いかも知れない。)