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代数学演習 I 問題 No.7

\fbox{環の準同型定理編}

問題 7.1 (準同型定理)   $ f:R\to S$ を環の間の準同型とするとき、次のことを示しなさい。
  1. ($ f$ の核 $ I=\operatorname{Ker}f=f^{-1}(0)$$ R$ のイデアルである。-これは既出なので 証明は省略して良い)
  2. % latex2html id marker 1096
$ f(r)=f(r') \quad {\Leftrightarrow}\quad r-r'\in I$
  3. 写像 $ \bar{f}$

    $\displaystyle \bar{f}:R/I \ni \bar{r} \mapsto f(r) \in S
$

    で定義すると、これは代表元の取りかたによらずにうまく定義されている。
  4. $ \bar{f}$ は単射準同型写像である。
  5. $ f$ が全射ならば、$ \bar{f}$ は同型写像である。

例題 7.1 (準同型定理の使い方)  
(1).
$ 4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであることを示しなさい。
(2).
$ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を求めよ。

(1),(2)を一遍に解決する。以下、整数 $ m$ にたいし、 $ m$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での同値類を $ [m]_{12}$ と書き、 $ m$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での同値類を $ [m]_4$ と書くことにする。 写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

$\displaystyle f:[m]_{12} \to [m]_4
$

で定義すれば、これが代表元によらずにうまく定義されており、 準同型写像であることはすぐに分かる。$ f$ の核は

% latex2html id marker 1139
$\displaystyle \{\bar{m};\quad m$    は $4$ の倍数$\displaystyle \}=4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

で、準同型写像の核はイデアルだから、 $ 4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。 $ (\to (1))$

$ f$ は全射だから、準同型定理(前問)により、 $ \bar{f}:({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(4{\mbox{${\mathbb...
...12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は同型を与える。 ($ \to (2)$ (答え: $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ))

問題 7.2   次の環 $ R$ とそのイデアル $ I$ について、$ R/I$ を求めよ。
  1. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/48{\mbox{${\mathbb{Z}}$}},I=8R$ .
  2. $ R={\mathbb{C}}[X]/((X+1)(X-1){\mathbb{C}}[X]), I=(X+1)R$ .

問題 7.3   同型 $ {\mathbb{C}}[X]/(X-3){\mathbb{C}}[X]\cong {\mathbb{C}}$ を示しなさい。

問題 7.4   % latex2html id marker 1183
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]/(1+\sqrt{-1}) \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を示しなさい。

問題 7.5   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \to S$ を 環の準同型とします。 $ S$ のイデアル $ J$ をとって、

$\displaystyle I=f^{-1}(J)
$

とおくと、$ I$$ R$ のイデアルであって、単射準同型 $ \bar{f}:R/I\to S/J$$ f$ により自然に定義されることを示しなさい。

問題 7.6   % latex2html id marker 1213
$ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{10}]$ のイデアル % latex2html id marker 1215
$ I=(2,\sqrt{10})$ による剰余環 $ R/I$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型であることを示し、$ I$$ R$ の素イデアルであることを言いなさい。



2007-11-13