next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

    

����ر齬 I ���� No.9

\fbox{���ʬ��ġ�ñ�।�ǥ������衦�桼����å�������(1)}

�����ִġפȤ�����ñ�̸�����IJĴ��ĤǤ���Ȥ����ִĤν�Ʊ���פ� ñ�̸����ݤĤ�Τ�����ͤ��뤳�Ȥˤ��ޤ���

��� 9.1   ���� $ R$ �����ʬ���(unique factorization domain:UFD) �Ǥ���Ȥϡ� $ R\setminus \{0\}$ ��Ǥ�դθ� $ x$ ���Ǹ����Ѥ�

$\displaystyle x=p_1 p_2\dots p_k ($$p_1,...,p_k$ �� $R$ ���Ǹ�$\displaystyle ) $

�Τ褦�˽񤱤�Ȥ��˸����ޤ��� ( $ p_1,\dots,p_k$ ����ˤ�Ʊ����Τ����äƤ�褤��)

��� 9.2   ���� $ R$ �� ñ�।�ǥ������� (principal ideal domain:PID) �Ǥ���Ȥϡ�$ R$ �Τ��٤ƤΥ��ǥ��뤬ñ�।�ǥ���(��Ĥθ�����������륤�ǥ���)�Ǥ���Ȥ��˸����ޤ���

��� 9.3   ���� $ R$ ���桼����å����� (Euclidian domain:ED) �Ǥ���Ȥϡ����������� $ W$ �� ���� $ \rho:R\to W$ (�ֽŤ��פ�Ĵ�٤����)�����äơ������������������Ȥ��˸����ޤ���
  1. $ R$ �θ� $ a$ �ΡֽŤ��� $ \rho(a)$ ���Ǿ� $ {\Leftrightarrow}$ $ a=0$
  2. $ R$ �θ� $ a,b$ % latex2html id marker 1014 $ (a\neq 0)$ ���Ф��ơ�

    % latex2html id marker 1016 $\displaystyle b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \rho(r)<\rho(a) $

    �Ȥʤ� % latex2html id marker 1018 $ q,r$ ��¸�ߤ��롣

���줫��ä��δ� (3�󤰤餤)��Σ��ĤΥ����פδĤ�����ˤʤ�ޤ�������Ū�ˤϡ�

   ED$\displaystyle \implies$   PID$\displaystyle \implies$   UFD

�Ȥ������¤ȡ����㡢���������ΰ�̣��ʬ��褦�ˤʤ�� OK �Ǥ��� �ޤ���˾夲������Τ����δ��Ĥ����Ѹ�˴ؤ������꤫��Ϥ�ޤ���

���� 9.1   �� $ R$ �θ� $ a$ �ˤĤ��ơ�������Ĥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  1. $ a$ ���Ǹ��Ǥ��롣���ʤ�� $ a$ �� $ bc$ �����ڤ�С�$ b$ �� $ c$ ���Τɤ��餫�� $ a$ ���ܸ��Ǥ��롣
  2. $ a$ ����������� $ R$ �Υ��ǥ��� $ aR$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��롣

���� 9.1 (���󽸹������γ�ǧ)   $ R$ ��桼����å�����Ȥ��� $ \rho:R\to W$ ����� 9.3 �˽ФƤ�������Ȥ��ޤ������λ���Ǥ�դ� $ R$ ����ʬ���� $ S$ ���Ф��ơ�$ S$ ����ǽŤ����Ǿ��Τ��(�ְ��ַڤ���Ρ�)�����뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��$ W$ �����󽸹�Ǥ���פȤϡ���$ W$ ��Ǥ�դ���ʬ���� $ X$ �ϺǾ�������ġפȤ������ȤǤ����������ǡ���$ S$ �θ��νŤ��ν����

% latex2html id marker 1065 $\displaystyle \{\rho(a); \quad a\in S\} $

�� $ X$ �Ȥ��ƺ��Ѥ���ȡ�������˺Ǿ���������Ȧ�Ǥ�������� $ \rho(a_0)$ �Ȥ���С�$ a_0$ �������ΤȤ������Ȥˤʤ�ޤ���(���ա����ַڤ����ϰ�ĤȤϸ¤�ޤ���)

���� 9.2   �桼����å������ñ�।�ǥ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�ҥ�ȡ�$ R$ ��桼����å�����Ȥ���$ I$ �򤽤Υ��ǥ���ΰ�ĤȤ��ޤ���$ I=0$ �ʤ�ñ�� (0 �����������)�ΤǤ褤��% latex2html id marker 1081 $ I \neq 0$ �ʤ顢 $ I\setminus\{0\}$ �θ��Τ��������ַڤ�����ȤäƤߤʤ�����)

���� 9.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤳�Ȥ�����˱�äƼ����ʤ����� $ (W=?, \rho=?)$

���� 9.4   �� $ K$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�� $ K[X]$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤳�Ȥ�����˱�äƼ����ʤ�����

���� 9.5   % latex2html id marker 1096 $ \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ (���λ��躬�ΰ��)�Ȥ���Ȥ��� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [\omega]$ ���ΤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.6   % latex2html id marker 1102 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ϡֽŤߴؿ���$ \rho$ ��

  % latex2html id marker 1105 $\displaystyle \rho:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$   $\displaystyle \to$   % latex2html id marker 1107 $\displaystyle {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\geq 0}$    
  $\displaystyle \cup \!\! \!\! \shortmid$       $\displaystyle \cup \!\! \!\! \shortmid$    
  % latex2html id marker 1110 $\displaystyle m+n\sqrt{-1}$   $\displaystyle \mapsto$   $\displaystyle m^2+n^2$    

��������뤳�Ȥˤ�ꡢ�桼����åɴĤȤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�ҥ�ȡ� % latex2html id marker 1114 $ \alpha,\beta \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}], \beta \neq 0$ �Ȥ���Ȥ���$ \alpha$ �� $ \beta$ �dz�ä��������ˤϡ� $ \alpha/\beta$ �� % latex2html id marker 1122 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ��Ƕ�����Ƥߤʤ�����)

���� 9.7  
  1. Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $ z$ ���Ф��ơ����� % latex2html id marker 1127 $ \gamma\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �����äơ�$ z$ �� $ \gamma$ �Ȥε�Υ $ \vert\gamma-z\vert$ �� $ 1$ �ʲ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�ҥ�ȡ�ʣ��ʿ�̾�� % latex2html id marker 1137 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �θ���ץ��åȤ��Ƥߤʤ�����)
  2. % latex2html id marker 1139 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �ϡֽŤߴؿ���$ \rho$ ��

      % latex2html id marker 1142 $\displaystyle \rho:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$   $\displaystyle \to$   % latex2html id marker 1144 $\displaystyle {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\geq 0}$    
      $\displaystyle \cup \!\! \!\! \shortmid$       $\displaystyle \cup \!\! \!\! \shortmid$    
      % latex2html id marker 1147 $\displaystyle m+n\sqrt{-2}$   $\displaystyle \mapsto$   $\displaystyle m^2+2n^2$    

    ��������뤳�Ȥˤ�ꡢ�桼����åɴĤȤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.8   % latex2html id marker 1152 $ \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($ 1$ �λ��躬�ΰ��) �Ȥ��ޤ������ΤȤ��� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ �ϥ桼����åɴĤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.9   ���� % latex2html id marker 1159 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����
  1. % latex2html id marker 1161 $ (3+4\sqrt{-1},5)$
  2. % latex2html id marker 1163 $ (5+12\sqrt{-1},13)$
  3. % latex2html id marker 1165 $ (7+8\sqrt{-1},9)$

next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...
ʿ��19ǯ11��29��