日本語技法 NO.3

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and, or, not と「ならば」数学では、幾つかの、真なる命題 (公理) から出発して、一定の推論

規則を使って他の命題 (補題や定理) を導き出す。

(推論規則は、大変易しいが、ときとして日常での推論とはずれることがある。これは主として、日常生活ではよく行なわれる「含意」とか「行間を読む」といったものを数学では極力排していることによる。すなわち、正しい証明を読めば (間違わない限りは、 ) 誰でも同じ結論にたどり着けるようにしてある。 )

既存の命題から、新しい命題を生み出すための基本的な道具が、「and, or, not」である。その説明のために、まずつぎの定義をしておく。定義 3.1 (真理値). 命題の真理値を、つぎのように定める。

(1) 命題 P が正しい (真である) とき、その真理値は 1 であると定める。

(2) 命題 P が正しくない (偽である) とき、その真理値は 0 であると定める。

定義 3.2. 命題 P が与えられていて、 P の真理値は p であるとする。このとき、「not P 」なる命題をあらたにつくっても構わない。この命題の真理値は、 1 − p である。定義 3.3. 命題 P, Q が与えられていて、 P の真理値は p, Q の真理値は q であるとする。このとき、

(1) 「P and Q」なる命題をあらたにつくっても構わない。この命題の真理値は、 pq である。

(2) 「P or Q」なる命題をあらたにつくっても構わない。この命題の真理値は、 max(p, q) である。

定義 3.4. 命題 P, Q が与えられていて、 P の真理値は p, Q の真理値は q であるとする。このとき、「P ⟹ Q」 ( 「P ならば Q」と読む。 ) なる命題をあらたにつくっても構わない。この命題の真理値は、「(not P) or Q」と同じである。

上の三つは、数学の推論の仕方の基本的な取り決めである。「or」と「ならば」の使い方はとくに注意が必要である。日常語としては、これらの語を上記以外の使い方で用いることもあるが、「議論を明確にする」ために上のようにきめてあるわけだ。

かけ算における九九の表や、筆算のように、真理値についても表をつくって理解の助けにすることがある。これを真理表という。形式は、どのようなものでも良いわけだが、例えばつぎのようにつくる。

P Q P and Q P or Q not P Q (not P)or Q
0 0  0  0  1 0  1
0 1  0  1  1 1  1
1 0  0  1  0 0  0
1 1  1  1  0 1  1

上の表の一番右の欄が「P ⟹ Q」の真理値を表している。

問題 3.1. 真理値を書き込んで、下の真理表を完成せよ。

P Q P ⟹ Q P and (P ⟹ Q) (P and (P ⟹ Q)) ⟹ Q
0 0
0 1
1 0
1 1

「and, or , not … 」は日本語ではもちろんそれぞれ「かつ、または、 … でない」である。ここでは、強調のためあえて英語を用いた。また、つぎのような記法が用いられることもある。

P ∧ Q P and Q (P かつ Q)
P ∨ Q  P or Q (P または Q)
¬P  not P  (P でない)