日本語技法 NO.4

[figure: ∀ と ∃] 命題には変数を含むものがある。たとえば

P (n) = (n^{2} + 3n − 9 > 0)

とか

P (n) = (n^{2} + n + 41 は素数である)

とかである。これらの命題は n を与えるごとに真か偽かが決定される。

定義 4.1. 変数 x を含むような命題 P にたいして、

(1) ∀x(P (x)) は「どのような x にたいしても、 P (x) が成り立つ」という意味である。

(2) ∃x(P (x)) は「少なくとも一つの x にたいして、 P (x) が成り立つ」という意味である。

原理的には、 ∀, ∃ および前回の論理記号と、集合論の幾つかの記号を組み合わせることにより、数学のすべての言葉を記号列に翻訳できる。

例えばつぎの文は、「数学的帰納法」を表現したものである。

∀S(0 ∈ S and (∀n ∈ ℕ(n ∈ S ⟹ (n + 1) ∈ S)) ⟹ ℕ ⊂ S)

数学における論理は、これらの記号列に関する「単純な計算」である。さしあたって今回は、つぎのことに注意しよう。

[figure: 登場人物 (x や y などの変数) の出てくる順番が大事である。]

例えば、 J = { グー、チョキ、パー }, にたいして、 x ≻ y を、「x は y より強い」というふうに定義すると。

∀x ∈ J(∃y ∈ J(y ≻ x))

は真の命題だが、

∃y ∈ J(∀x ∈ J(y ≻ x))

は偽の命題である。

問題 4.1.

P : ∀x ∈ ℤ(∃y ∈ ℤ(x > y^{2}))
Q : ∃y ∈ ℤ(∀x ∈ ℤ(x > y^{2}))

とおくとき、 P,Q は真だろうか、それとも偽だろうか。それぞれ理由を述べて答えなさい。