日本語技法 No.4

$\forall$ と $\exists$

命題には変数を含むものがある。 たとえば

$$P(n)=(n^2+3n-9>0)$$

とか

$$P(n)=($$$n^2+n+41$ は素数である$$)$$

とかである。これらの命題は $n$ を与えるごとに真か偽かが 決定される。

定義 4.1   変数 $x$ を含むような命題 $P$ にたいして、

1. $\forall x (P(x))$ は 「どのような $x$ にたいしても、$P(x)$ が成り立つ」 という意味である。
2. $\exists x (P(x))$ は 「少なくとも一つの $x$ にたいして、$P(x)$ が成り立つ」 という意味である。

原理的には、$\forall$ , $\exists$ および前回の論理記号と、 集合論の幾つかの記号を組み合わせることにより、数学の すべての言葉を記号列に翻訳できる。

例えばつぎの文は、「数学的帰納法」を表現したものである。

$$\forall S(0\in S$$ and $$(\forall n\in\mathbb{N}(n\in S\implies (n+1)\in S)) \implies \mathbb{N}\subset S)$$

数学における論理は、 これらの記号列に関する「単純な計算」である。 さしあたって今回は、つぎのことに注意しよう。

登場人物($x$ や $y$ などの変数)の出てくる順番が 大事である。

例えば、 $J=\{$グー、チョキ、パー$\}$ , にたいして、 $x\succ y$ を、「$x$ は $y$ より強い」というふうに定義すると。

$$\forall x\in J (\exists y\in J ( y \succ x))$$

は真の命題だが、

$$\exists y\in J (\forall x\in J( y \succ x))$$

は偽の命題である。

問題 4.1  

$$P:\forall x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(\exists y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(x>y^2))$$

$$Q: \exists y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(\forall x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x>y^2))$$

とおくとき、$P$ ,$Q$ は真だろうか、それとも偽だろうか。 それぞれ理由を述べて答えなさい。