日本語技法 NO.6

[figure: ∀ と ∃ (その 3)] 今回は小テストである。裏面の問題を解いて、解答用紙に解答すること。なお、

(1) 本やノート等を参照しても良い。ただし、私語は厳禁とする。

(2) 時間は 1 時限終了時までである。

(3) 解答は簡潔なものであることに越したことはないが、説明が欄にどうしても収まり切れない場合には適宜＊印などをつけて裏面等に付け足しても良い。

(4) 以下の解説も参考にすると良いかも知れない。

[figure: ∃x∀yP (x, y) ; を証明するには全ての y について一斉に P(x,y) がなり ; たつような x の例を挙げれば良い。すなわち、あなたが ; 自分で x の例 x_{0} を挙げ、その x_{0} に関して (一般には何 ; らかの巧妙な「多くのモノをさばく」テクニックを用い ; て) 全ての y について一斉に P (x_{0}, y) がなりたつこと ; を示すことになる。]

例: ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(y^{2} ≥ x) は正しい。なぜなら、 x = 0 という例に対して

∀y ∈ ℝ(y^{2} ≥ 0)

がなりたつからである。

[figure: ∀y∃xP (x, y) ; を証明するには、各々の y に対してそれぞれ x の例を ; 挙げればよい。]

例:

∀y∃x(x > y)

は正しい。なぜなら、各々の実数 y に対して、 x の例として x + 1 をとればよいからである。

問題 5.1 の答:(1),(2) ともに偽である。なぜなら、命題 5.1 を用いて (1),(2) はそれぞれ (1′) ∃y ∈ ℚ_{>0}(y^{2} = 3) (2′) ∀x ∈ ℚ_{>0}∃y ∈ ℚ_{>0}(y^{2} = x)

と同値である。平方して 3 になる数は ±\sqrt{3} に限られ、それらは有理数ではないから、 (1′) は偽である。また、

∃y ∈ ℚ_{>0}(y^{2} = x)

という x についての命題を P (x) と書くと、 (1′) は P (3) と同じことであり、 (2′) は

∀x ∈ ℚ_{>0}(P (x))

という命題にほかならない。反例 x = 3 があるので (2′) も偽である。

問題

生徒 A-I が以下のような主張をしている。これらの主張を数式に翻訳し、その真偽を理由を挙げて述べなさい。ただし、 A,C,D は例題としてはじめから解答が書いてある。

レベル 1 (例題) 生徒 A は、「実数 x はそれがどんなものであっても 3 以上である」と言った。

生徒 B は「 5 以上の実数 x が存在する」と言った。

レベル 2 (例題) 生徒 C は「あなたがどんな実数 x を一つ持ってきても、わたしはそれより 5 以上大

きい実数 y を挙げることができる」と言った。

(例題) 生徒 D は「わたしの知っているある実数 x はどんな実数 y より 5 以上大きい」と言った。

生徒 E は「あなたがどんな実数 x を一つ持ってきても、わたしは実数 y を一つ用意して、二つの数の和を 3 にできる。」と言った。

生徒 F は「わたしは実数 x を一つ用意して、あなたがどんな実数 y を一つ持ってきても、二つの数の和が 3 であるようにできる。」と言った。

生徒 G は「わたしは x と y という二つの実数を用意して、あなたがどんな実数 z を一つ持ってきても、 xz = y であるようにできる」と言った。

レベル 3(前問までは実数を扱っていたが以下の問題では\underline{整数}を扱うことに注意) 次のようなゲームを考えよう。

[figure: ゲームは先手、後手の二人で次のような手順で行なわれる。 ; (手順 1) 先手が整数 x を一つ言う。 ; (手順 2) 後手が整数 y を一つ言う。 ; (手順 3) 先手が整数 z を一つ言う。 ; このとき、 ; • z が x と y の平均値 (\frac{x+y}{2}) ならば先手の勝ち。 ; • それ以外ならば後手の勝ち。]

生徒 H は、「このゲームで、先手が 1 手目にどんな整数 x を言っても、後手がへまをすれば、先手が勝つことがあり得ます。」と言った。

生徒 I は、「このゲームは後手がうまくやれば必ず後手の勝ちですね。」と言った。

宿題上の諸問題は若干気が利いていない気もする。そこで、各自が気の利いた ∃, ∀ に関するレ

ベル 2 かレベル 3 相当の問題を作成し、解答例を作ってみること。これは次回の小演習の課題とする予定であるが、いきなりその場では時間が少なくて作れないかも知れないので、宿題として次回までに案を練っておくことをお勧めする。

当然各人全く違った問題を作成することを期待している。

日本語技法 NO.6

解答用紙

出席番号、名前：

主張者数式による翻訳真偽理由
A(例) ∀x ∈ ℝ(x ≥ 3) 偽 1 も実数だが 3 以上ではない。

B

C(例)  ∀x∃y ∈ ℝ(y ≥ x + 5)  真{あなたの x に対して生徒 C は y = x + 6 を用意すれば \atop 良い。}
D(例)  ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x ≥ y + 5)  偽{そのような x があったとすると、あなたが y として x \atop をとると矛盾が生じる。}

E F G H

日本語技法 NO.6

出席番号、名前：\underline{解答例 0000 高知大学太郎左衛門}

主張者数式による翻訳真偽理由
A(例)  ∀x ∈ ℝ(x ≥ 3)  偽 1 も実数だが 3 以上ではない。
B  ∃x ∈ ℝ(x ≥ 5)  真 x = 10 がその例である。
C(例)  ∀x∃y ∈ ℝ(y ≥ x + 5)  真{あなたの x に対して生徒 C は y = x + 6 を \atop 用意すれば良い。}
D(例)  ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x ≥ y + 5)  偽{そのような x があったとすると、あなたが y \atop として x をとると矛盾が生じる。}
E  ∀x ∈ ℝ∃y ∈ ℝ(x + y = 3)  真{あなたの x に対して生徒 E は y = (3 − x) \atop とすれば良い。}
F  ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x + y = 3)  偽{そのような x があったとするとあなたが y = \atop −x にとると矛盾が生じる。}
G  ∃x ∈ ℝ∃y ∈ ℝ∀z ∈ ℝ(xz = y) 真{G が x = 0, y = 0 と決めれば、どのような \atop z ∈ ℝ に対しても xz = 0z = 0 = y である。}
H ∀x ∈ ℤ∃y ∈ ℤ∃z ∈ ℤ(z = \frac{x+y}{2}) 真先手の x に対して後手が y = x に選んだと ; しよう。このとき先手は z = x を選べば良 ; い。
I  ∀x ∈ ℤ∃y ∈ ℤ∀z ∈ ℤ(z ≠ \frac{x+y}{2}) 真先手の x に対して後手が y = −x + 1 に選べ ; ば\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} は整数にならず先手が z として ; どんな整数を選んでも負けである。