日本語技法 No.6

$\forall$ と $\exists$ (その3)

今回は小テストである。裏面の問題を解いて、解答用紙に 解答すること。

なお、

1. 本やノート等を参照しても良い。ただし、私語は厳禁とする。
2. 時間は1時限終了時までである。
3. 解答は簡潔なものであることに越したことはないが、 説明が欄にどうしても収まり切れない場合には適宜＊印などを つけて裏面等に付け足しても良い。
4. 以下の解説も参考にすると良いかも知れない。

$$\exists x \forall y P(x,y)$$

を証明するには 全ての $y$ について一斉に P(x,y) がなりたつような $x$ の例を挙げれば良い。 すなわち、あなたが自分で $x$ の例 $x_0$ を挙げ、その $x_0$ に関して (一般には何らかの巧妙な「多くのモノをさばく」テクニックを用いて) 全ての $y$ について一斉に $P(x_0,y)$ がなりたつことを示すことになる。

例: $\exists x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(y^2\geq x)$ は正しい。 なぜなら、$x=0$ という例に対して

$$\forall y \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$(y^2\geq 0)$$

がなりたつからである。

$$\forall y \exists x P(x,y)$$

を証明するには、各々の $y$ に対してそれぞれ $x$ の例を挙げればよい。

例:

$$\forall y \exists x (x>y)$$

は正しい。 なぜなら、各々の実数 $y$ に対して、$x$ の例として $x+1$ をとれば よいからである。

問題 5.1 の答:(1),(2)ともに偽である。なぜなら、命題5.1 を用いて(1),(2) は それぞれ

($1'$) $\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} (y^2=3)$

($2'$) $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0}\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} (y^2=x)$

と同値である。平方して $3$ になる数は $\pm \sqrt{3}$ に限られ、 それらは有理数ではないから、$(1')$ は偽である。 また、

$$\exists y\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} (y^2=x)$$

という $x$ についての命題を $P(x)$ と書くと、$(1')$ は $P(3)$ と同じことであり、 $(2')$ は

$$\forall x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} (P(x))$$

という命題にほかならない。反例 $x=3$ があるので $(2')$ も偽である。

生徒 A-I が以下のような主張をしている。これらの主張を数式に翻訳し、 その真偽を理由を挙げて述べなさい。ただし、A,C,D は例題として はじめから解答が書いてある。

(例題)生徒 A は、「実数 $x$ はそれがどんなものであっても $3$ 以上である」と言った。

生徒 B は 「 $5$ 以上の実数 $x$ が存在する」と言った。

(例題)生徒 C は 「あなたがどんな実数 $x$ を一つ持ってきても、わたしはそれより $5$ 以上大きい実数 $y$ を挙げることができる」と言った。

(例題)生徒 D は 「わたしの知っているある実数 $x$ はどんな実数 $y$ より $5$ 以上大きい」 と言った。

生徒 E は 「あなたがどんな実数 $x$ を一つ持ってきても、 わたしは実数 $y$ を一つ用意して、 二つの数の和を $3$ にできる。」と言った。

生徒 F は 「わたしは実数 $x$ を一つ用意して、 あなたがどんな実数 $y$ を一つ持ってきても、 二つの数の和が $3$ であるようにできる。」と言った。

生徒 G は 「わたしは $x$ と $y$ という二つの実数を用意して、 あなたがどんな実数 $z$ を一つ持ってきても、 $x z =y$ であるようにできる」と言った。

(前問までは実数を扱っていたが以下の問題では整数を 扱うことに注意)

次のようなゲームを考えよう。

ゲームは先手、後手の二人で次のような手順で行なわれる。

(手順1).

先手が整数 $x$ を一つ言う。

(手順2).

後手が整数 $y$ を一つ言う。

(手順3).

先手が整数 $z$ を一つ言う。

このとき、

• $z$ が $x$ と $y$ の平均値( $\frac{x+y}{2}$)ならば先手の勝ち。
• それ以外ならば後手の勝ち。

生徒 H は、「このゲームで、先手が1手目にどんな整数 $x$ を言っても、 後手がへまをすれば、先手が勝つことがあり得ます。」 と言った。

生徒 I は、「このゲームは後手がうまくやれば必ず後手の勝ちですね。」 と言った。

上の諸問題は若干気が利いていない気もする。そこで、 各自が気の利いた $\exists$, $\forall$ に関するレベル2かレベル3相当の問題 を作成し、 解答例を作ってみること。 これは次回の小演習の課題とする予定であるが、 いきなりその場では時間が少なくて作れないかも知れないので、 宿題として次回までに案を練っておくことをお勧めする。

当然各人全く違った問題を作成することを期待している。

解答用紙

出席番号、名前：

主張者	数式による翻訳	真偽	理由
A(例)	$\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq 3)$	偽	$1$ も実数だが $3$ 以上ではない。
B
C(例)	$\forall x \exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(y\geq x+5)$	真	あなたの $x$ に対して生徒 $C$ は $y=x+6$ を用意すれば良い。
D(例)	$\exists x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq y+5)$	偽	そのような $x$ があったとすると、あなたが $y$ として $x$ をとると矛盾が生じる。
E
F
G
H
I

出席番号、名前：解答例0000 高知大学 太郎左衛門

主張者	数式による翻訳	真偽	理由
A(例)	$\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq 3)$	偽	$1$ も実数だが $3$ 以上ではない。
B	$\exists x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq 5)$	真	$x=10$ がその例である。
C(例)	$\forall x \exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(y\geq x+5)$	真	あなたの $x$ に対して 生徒 C は $y=x+6$ を用意すれば良い。
D(例)	$\exists x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x\geq y+5)$	偽	そのような $x$ があったとすると、あなたが $y$ として $x$ をとると矛盾が生じる。
E	$\forall x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x+y=3)$	真	あなたの $x$ に対して 生徒 E は $y=(3-x)$ とすれば良い。
F	$\exists x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y \in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x+y=3)$	偽	そのような $x$ があったとするとあなたが $y=-x$ にとると矛盾が生じる。
G	$\exists x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(xz=y)$	真	G が $x=0,y=0$ と決めれば、 どのような $z\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対しても $xz=0 z=0=y$ である。
H	$\forall x\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists y\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists z\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(z=\frac{x+y}{2})$	真	先手の $x$ に対して後手が $y=x$ に選んだとしよう。 このとき先手は $z=x$ を選べば良い。
I	$\forall x\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\exists y\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\forall z\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(z\neq\frac{x+y}{2})$	真	先手の $x$ に対して後手が $y=-x+1$ に選べば $\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}$ は整数にならず先手が $z$ としてどんな整数を選んでも負けである。