日本語技法 NO.7

[figure: ∀ と ∃ (その 3)] 前回の解答例は以下のようになる。

主張者数式による翻訳真偽理由
A(例)  ∀x ∈ ℝ(x ≥ 3)  偽 1 も実数だが 3 以上ではない。
B  ∃x ∈ ℝ(x ≥ 5)  真 x = 10 がその例である。
C(例)  ∀x∃y ∈ ℝ(y ≥ x + 5)  真{あなたの x に対して生徒 C は y = x + 6 を \atop 用意すれば良い。}
D(例)  ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x ≥ y + 5)  偽{そのような x があったとすると、あなたが y \atop として x をとると矛盾が生じる。}
E  ∀x ∈ ℝ∃y ∈ ℝ(x + y = 3)  真{あなたの x に対して生徒 E は y = (3 − x) \atop とすれば良い。}
F  ∃x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x + y = 3)  偽{そのような x があったとするとあなたが y = \atop −x にとると矛盾が生じる。}
G  ∃x ∈ ℝ∃y ∈ ℝ∀z ∈ ℝ(xz = y) 真{G が x = 0, y = 0 と決めれば、どのような \atop z ∈ ℝ に対しても xz = 0z = 0 = y である。}
H ∀x ∈ ℤ∃y ∈ ℤ∃z ∈ ℤ(z = \frac{x+y}{2}) 真先手の x に対して後手が y = x に選んだと ; しよう。このとき先手は z = x を選べば良 ; い。

I  ∀x ∈ ℤ∃y ∈ ℤ∀z ∈ ℤ(z ≠ \frac{x+y}{2}) 真先手の x に対して後手が y = −x + 1 に選べ ; ば\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} は整数にならず先手が z として ; どんな整数を選んでも負けである。

一般的に、「∀ のついた変数については先生 (あなた) が言い、 ∃ のついた変数については生徒 (わたし) が言う」というように役割分担をして、ゲーム仕立てにすると分かりやすいようである。

問題 7.1. (気の利いた) ∃, ∀ に関するレベル 2 かレベル 3 相当の問題を作成し、問題と解答例を書きなさい。